数学の積分です。

質問

1/(x-x^2)^(1/2)‐(1)
上式を置換積分する場合、なぜ最初に分母を
(x-x^2)^(1/2)
＝（1/4-(x-1/2)^2)^(1/2)
＝1/2*(1-(2x-1)^2)^(1/2)
と変換し、
2x-1＝ｔ
と置換する必要があるのでしょうか？

(1)の段階で
分母：(x-x^2)^(1/2)をｔと置換して計算するのは
なぜ解が求まらないのでしょうか？

→解：sin(2x-1)^(-1)
詳しい説明をお願いします。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

＞(1)の段階で
分母：(x-x^2)^(1/2)をｔと置換して計算するのは
なぜ解が求まらないのでしょうか？

疑問に思ったことは自分で試してみるべきです。

このような置換ではdxをdtで表すところで行き詰ります。

この置換積分のポイントは三角関数に持ち込まないと解に至らないということです。そのための置換であって、初心者は試行錯誤する必要があります。

∫dx/√(x-x^2)=∫dx/√(1/4-(x-1/2)^2)

u=x-1/2とおくと

∫dx/√(x-x^2)=∫du/√(1/4-u^2)

ここでu=sinp/2と置ける人は実力があります。

√(1/4-u^2)=cosp/2

du/dp=cosp/2

du=(cosp/2)dp

∫dx/√(x-x^2)=∫du/√(1/4-u^2)
=∫dp=p
=arcsin(2u)
=arcsin(2x-1)

質問者の示した
＞
→解：sin(2x-1)^(-1)
の^(-1)は逆数でなく逆関数arcsinであることを認識してください。