1 / (x^2+1)^(3/2)の積分について

質問

1 / (x^2+1)^(3/2)　の積分なのですが、これはどのように解いたら良いのでしょうか?
置換積分法で解こうとしても解けませんでしたし、部分積分法でもいまいち分かりませんでした。
ちなみに答えは　x / (1 + x^2)^(1/2) + C となっていました。

どなたか解説よろしくお願いします。

回答No.1

nettiw · ベストアンサー

正攻法で、
x=tanTとおくと、
dx=[1+(tanT)^2]dT
dx=[1+x^2]dT

∫dT/√(1+tanT^2)・・・(-π/2＜T＜π/2)
=∫dTcosT
=sinT・・・(sinTとtanTの符号が一致しているのを確認して、)
=x/√(x^2+1)
こんな感じでしょうか。