x^n (1/xを含む)の微積分の求め方
x^n(1/xを含む)の微積分の求め方で、1/xだけexpを使って積分しこれだけlog(x)となりますが、共通的にならないか・・・ということで、すべてexpで置換たらいいのではということで考えました。おおむね下記のような考えで丈夫でしょうか？
頭のリフレッシュということで30年ぶりに数学を再勉強中です。よろしくおねがいします。
A) x^n積分
x^n=exp(k) と置換 x=exp(k/n), k=log(x^n)=nlog(x) なので
∫1/x^n dx = ∫(1/exp(k)) dexp (k/n)/dk dk
= ∫exp(-k)exp(k/n)/n dk = ∫exp(k(1-n)/n)/n dk
ここで n=1 の場合は
∫(log(1),log(x)) exp(0)/n dk = ∫(0,log(x)) dk = log(x)
∫1/x dx = log(x)
n=1 以外の場合は
= (1/(1-n)) exp(k(1-n)/n) = (1/(1-n))exp((1-n)log(x))
= -(1/(n-1)) exp(-(n-1)log(x)) = -(1/(n-1)) exp(-log(x^(n-1)))
∫1/x^n dx = -(1/(n-1)) (1/x^(n-1))
n=-nと置換えると
∫x^n dx = (1/ (n+1)) x^(n+1)
B) 微分も同じように
x^n=exp(k) と置換 x=exp(k/n), k=log(x^n)=nlog(x) なので
dx^n/dx = dexp(k) /dx = (dexp(k) /dk)(dk/dx) = exp(k) dlog(x^n)/dx = exp(k) n dlog(x)/dx = exp(k) n (1/x)
x^n=exp(k) なので
= n x^n /x^-1 = nx^(n-1)
お礼
arctanに関する公式があるんですね。こちらの回答を拝見してから教科書を読んだらちゃんと書いてあったので、自分の不真面目さにがっかりしました。これからは真面目に勉強します。ありがとうございました。