e^x + 1やsechx等がまざった時の積分ができません

質問

下のような複雑な形の式を積分しなければいけないのですが、
どうしてもできません。

（１）　e^x / { (e^x) + 1 } ^2

（２）　x e^x / { (e^x) + 1 } ^2

（３）　( sechx ) / { e^(2x) + 1 }

（４）　{ (e^-x) sechx } / { e^(2x) + 1 }

ちなみに全てxに関する不定積分です。
どなたか私に救いの手を・・・

回答No.4

h191224

もう解決済みかも知れませんが、私が当分の間時間がとれなくなることもあって、ケジメの意味で解を書いておきたいと思います。

まず、(4)は簡単です。
t=e^2x
と置けば、
dt=2e^2xdx=2tdx　⇔　dx=dt/2t
F={ (e^-x) sechx } / { e^(2x) + 1 }
=2/{e^x(e^x+e^-x)(e^2x+1)}
=2/(e^2x+1)^2
=2/(t+1)^2
∫Fdx=∫2/(t+1)^2・dt/2t=∫dt/{t(t+1)^2}
被積分関数部分を変形すると、
1/{t(t+1)^2}=1/t - 1/(t+1) - 1/(t+1)^2
よって、
∫Fdx= lnt - ln(t+1) + 1/(t+1)
= 2x - ln(e^2x+1) + 1/(e^2x+1) + C

(3)は、私がウカツでした。
t=e^x
の置き換えでできますね。
F=sechx/(e^2x+1)
=2/{(e^x+e^-x)(e^2x+1)}
=2e^x/(e^2x+1)^2
∫Fdx=dt/(t^2+1)^2
さらに
t=tanθと置くと、
dt=sec^2 θdθ
∫Fdx=dt/(t^2+1)^2
=∫sec^2 θdθ/sec^4 θ
=∫cos^2 θdθ
=∫(1+cos2θ)/2・dθ
=(θ+sin2θ/2)/2
={tan^-1 t + t/(t^2+1)}/2
={tan^-1 e^x + e^x/(e^2x+1)}/2 + C
もちろん、最初から、
e^x=tanθ
と置いてもできます。
しかし、(3)は他に比べて難しすぎますねえ。問題自体が間違っているかも知れませんねえ。

なお、以上は、私が書き間違っている可能性もあるので、必ず自分で導出過程を辿ってみましょう。

回答No.3

h191224

ありゃ、応用が利きませんでしたね(^^;
こっちも書き方が悪かった！

式の形を見ると、（３）（４）は、
t = e^2x
と置くと良いことがわかります。

やってみましょう。

お礼

回答ありがとうございます。
私のやり方が悪いのか、t = e^2xと置いても式がめちゃくちゃな
ままなんですが・・・。

t = e^2xと置いたあとは、何か特殊な方法を使ってるんですか？

回答No.2

h191224

課題の丸投げかも知れませんが、「救いの手を」ということですので、藁ぐらいは差し伸べて差し上げましょう。

これらの問題は、すべて置換積分で解けます。

t = e^x
と置くと、
dt = e^x dx = t・dx
dx = dt/t
x = ln t
です。

要するに、問題の式の積分形の中に含まれる e^x を t 、x を ln t 、 dx を dt/t で置き換えると、積分しやすい形に変換されます。

なお、sechxは、指数関数で表示してからにしましょう。

お礼

ありがとうございます。
（１）（２）は無事解決しました。しかし

（３）が -2dt / (t^4 + 2t^2 + 1)
（４）が 2dt / (t^5 + 2t^3 + t)

となり、そこからがまた分からなくなってしまいました・・・
これも実は簡単な方法があるのでしょうか？

回答No.1

N64

課題の丸投げですか？