エルミート多項式のｎ次の項の積分

質問

エルミート多項式のｎ次の項の積分についての質問です。
(Hn(ξ))^2×exp(‐ξ^2)を∞から‐∞までξについて積分すると
答えは2^n×n!×√πになるのですが、exp(‐ξ^2)の積分が√πになるのは分かるのですが(Hn(ξ))^2×exp(‐ξ^2)になると良く分からなく困っています。
どなたか導出方法をご教授していただけたら幸いです。
よろしくお願いいたします。
ちなみにHn(ξ)＝(‐1)^n×exp(ξ^2)×d^n/dξ^n×exp(‐ξ^2)
とありまして、dHn(ξ)/dξ=2n×Hn-1(ξ)という条件を使うと思うのですが・・・(Hn-1のn-1は下付きでn-1項目という意味です。)

回答No.2

noname#57316 · ベストアンサー

e^{ξ^2-(z-ξ)^2} を、z　の冪級数に展開すると、
e^{ξ^2-(z-ξ)^2}＝Σ[n=0～∞]{H_n(ξ)/(n!)}・z^n

これから、
e^{ξ^2-(z_1-ξ)^2}・e^{ξ^2-(z_2-ξ)^2}
＝（Σ[n=0～∞]{H_n(ξ)/(n!)}・z_1^n）・（Σ[m=0～∞]{H_m(ξ)/(m!)}・z_2^m）

両辺に e^(-ξ^2) を乗じて、-∞～∞　の範囲で ξ で積分すると
左辺＝∫[-∞～∞]e^{ξ^2-(z_1-ξ)^2-(z_2-ξ)^2}dξ＝(√π)・e＾(2・z_1・z_2)
右辺＝Σ[n,m=0～∞]∫[-∞～∞]e^(-ξ^2)・{H_n(ξ)・H_m(ξ)}dξ・{(z_1^n・z_2^m)/(n!・m!)}

左辺の積分結果を展開すると、
(√π)・e＾(2・z_1・z_2)＝(√π)・Σ[n=0～∞]{(2・z_1・z_2)^n}/(n!)
＝(√π)・Σ[n,m=0～∞]{(2^n)/(n!)}・(z_1^n・z_2^m)・δ(n,m)

左辺と右辺の z_1 と z_2 の冪の計数は等しくなければならないので、
∫[-∞～∞]e^(-ξ^2)・{H_n(ξ)・H_m(ξ)}dξ＝√π・{(2^n)・(n!)}・δ(n,m)

従って、∫[-∞～∞]H_n(ξ))^2・eξp(‐ξ^2)dξ＝√π・{(2^n)・(n!)}

回答No.1

Tacosan

積分値を I(n) としたときに I(0) = √π かつ I(n) = 2n I(n-1) が証明できればいいんですよね?
思い付きだけですが,
Hn(ξ)^2 exp(-ξ^2) = [(-1)^n d^n/dξ^n exp(-ξ^2)] [(-1)^n exp(ξ^2) d^n/dξ^n exp(-ξ^2)]
として, 右辺を部分積分すればできないかなぁ?