ル・ジャンドル多項式に関係した積分の問題です。

質問

ル・ジャンドル多項式に関係した積分の問題です。
今大学３回生で、物理数学という講義のレポートに、

ル・ジャンドル多項式Pn(x)に関係した

∫(x^n)Pn(x)dx = ((2^(n+1))(n!)^2)/(2n+1)!
(↑∫の範囲は-1~1)

を示しなさい
という問題が出たのですが、どう参考図書などを読みあさってもできません・・・
解法をどなたか教えていただけませんでしょうか。。。

回答No.2

Anti-Giants · ベストアンサー

I(2n+1)
= int[-π/2,π/2]cos^{2n+1}(x)dx
= int cos^{2n}(sin(x))’dx
= [cos^{2n}(x)sin(x)][-π/2,π/2]
+ 2n int cos^{2n-1}(x)sin^2(x) dx
= 2n I(2n-1) - 2n(2n+1)

I(2n+1)
= 2n/(2n+1) × I(2n-1)
= ...
= 2^n n ! /(2n+1) !! × I(1)

(2n+1) !!
= (2n+1)(2n-1) ... 3 1
= (2n+1)(2n)(2n-1)(2n-2) ... 4 3 2 1 /(2n)(2n-2) ... 4 2
= (2n+1) ! / 2^n n !

お礼

できました！！！
ほんっとうにありがとうございました！！！

回答No.1

Anti-Giants

D^n は n回微分とする
f = (x^2-1)^n

int[-1,1]x^n D^n(f) dx
=[x^n D^{n-1}(f)][-1,1] - int[-1,1]nx^{n-1}D^{n-1}(f) dx
= -n int[-1,1]x^{n-1}D^{n-1}(f)dx
= ...
= (-1)^n n! int[-1,1]f(x)dx

int[-1,1]f(x)dx
= (-1)^n int[-π/2,π/2]cos^{2n+1}dx
= (-1)^n 2^{n+1} n!/(2n+1)!!
= (-1)^n 2^{2n+1} (n!)^2/(2n+1)!

あとは、整理するだけ。

お礼

ご回答ありがとうございました！！
申しわけないですが

int[-1,1]f(x)dx
= (-1)^n int[-π/2,π/2]cos^{2n+1}dx
= (-1)^n 2^{n+1} n!/(2n+1)!!
= (-1)^n 2^{2n+1} (n!)^2/(2n+1)!

の部分の2行目から3行目の積分がよくわからないのですが、何かの公式を使うのでしょうか？
あと、3行目から4行目の変換も少し解説をいただけたら幸いです。