ホモロジー群

質問

ホモロジー、ホモロジー群それぞれの意味って何ですか？（定義でなく）

たとえばホモトピーだったら二つの曲線があって、一方を連続的に変形して他方に移せることをホモトープと言ったと思います。

そういう、定義的ではなく、直感的でわかりやすい解釈の仕方をご教授願います。

回答No.1

dokuovip · ベストアンサー

大学で学んだ幾何学を元に回答してみます。

ホモロジーとは、その物体の「特徴」を表すものです。
よく出される例ですが、
ドーナツとビーチボールは、穴が開いているものと開いていないものなので、「位相的に」違います。
ビーチボールと卵は、中身が詰まっていないのと詰まっている違いがあり、「位相的」に違います。

世の中には無数の形があり、どの形と形を同じと考えていいか、
それを考える手段がホモロジーです。

具体的に書きますと、
ビーチボール（ｓ＾２）はホモロジーが（Z、０、Z）です
卵（B＾２）はホモロジーが（Z、０、０）です。
違いますね。
このように、「違う」ということを数学的に明らかにできる考え方です。

【ホモロジー群の説明】
ホモロジーは、ひとつの形をどの次元で見るかで数字が違います。
上のビーチボールの例は
0次元ホモロジー群がZ
1次元ホモロジー群が0
2次元ホモロジー群がZ　ということをあらわしています
（これ以降はずっと0です）

少しかじっただけの学生ですが、参考になればうれしいです。

お礼

回答ありがとうございます。
ホモロジーおよびホモロジー群について直感的になんとなくですが理解できました。

回答No.2

kabaokaba

>ホモロジー、ホモロジー群それぞれの意味って何ですか？（定義でなく）

あなたがホモロジー群をどのように習ったか，
どのように理解しているかが結構だいじですが・・

ホモロジー群ってのは，対象となる空間を
「多面体に似たもの」に手当たり次第分割してしまって，
それを，次元ごとにばらばらにして考えるようなものです．
ただ分解しても無意味なので，
・「多面体に似たもの」から「その境界」を引っ張りだす操作
・「多面体に似たもの」の向き
を考えて，
境界どうしが「同じ」ものを「同じもの」とみなすことで
「多面体に似たもの」どうしの「つながり」を考える感じです．
＃向きを入れることで群とできることがトリック
＃本当は「多面体に似たもの」では多すぎるので
＃境界が「閉じている」ものに限定なんだけども詳細はパス

基本群は直接「閉曲線」が「縮む」かどうかを
考えるので，ある意味理解しやすいのですが，計算が一般には
めんどくさいのに対して，
ホモロジー群は「いいものに分割」して，
それらのつながりを考えるという感じのもので，
定義が直感的ではない反面，計算しやすいことが多いのです．

他にも「コホモロジー群」「ホモトピー群」なんてのが有名です．
＃個人的には「コホモロジー群」が一番あちこちで顔を出す気がする

お礼

回答ありがとうございます。
慣れない身にとっては基本群の方が何倍も簡単に感じますが、計算はホモロジー群の方がしやすいんですね。

まあイメージは境界と向きと次元について考えればいいんですよね？