4点O(0,0) A(1,0) B(1,1) C(0,1)を頂点とする

質問

4点O(0,0) A(1,0) B(1,1) C(0,1)を頂点とする正方形を、線分OA上の点Pと線分BC上の点Qを
結ぶ直線で折り返して点Oが線分AB上の点Rに重なるようにする。このとき点Cが重なる点を
T(X,Y)とし、∠AOR=θとする。(0＜θ＜π/4)

(1)直線PQの方程式をθを用いて表せ
(2)X,Yをそれぞれθを用いて表せ
(3)Tが描く曲線と線分BCで囲まれた部分の面積を求めよ

お願いします

回答No.3

muturajcp

(1)
(x-x0)cosθ+(y-y0)sinθ=0
OR=1/cosθ
R=(1,sinθ/cosθ)
(x0,y0)=R/2=(1/2,sinθ/(2cosθ))
PQ(x,y)の方程式は
xcosθ+ysinθ=1/(2cosθ)

(2)
Xcosθ+(Y+1)sinθ=1/cosθ
-Xsinθ+(Y-1)cosθ=0

X=1-sin2θ
Y=tanθ+cos2θ

(3)
θ=0のとき
(X,Y)=(1,1)
θ=π/4のとき
(X,Y)=(0,1)
dX=-2cos2θdθ
∫_{0～1}(Y-1)dX
=∫_{0～π/4}((cos2θ)-1+(tanθ))(-2cos2θ)dθ
=∫_{0～π/4}{-(1+cos4θ)+2cos2θ-2sin2θ}dθ-2∫_{1～1/√2}(1/t)dt
=[-θ-{(sin4θ)/4}+sin2θ+cos2θ]_{0～π/4}-2[logt]_{1～1/√2}
=2-(π/4)+log2

回答No.2

nag0720

＃１です。
訂正　π/4－θ　→　π/2－θ

回答No.1

nag0720

(1)
直線PQと直線ORの交点をSとすると、
三角OSPは直角三角形で、∠OPQ=π/4－θ
点Rのy座標はtanθだから、点Sの座標は(1/2,(tanθ)/2)
よって、直線PQの式は、
y=-tan(π/4-θ)*(x-1/2)+(tanθ)/2
=-(x-1/2)/tanθ+(tanθ)/2

(2)
点C(0,1)から直線PQに下ろした垂線の式は、
y=x*tanθ+1
垂線の足の座標は、直線PQとの交点を求めて、
x=(cosθ-sinθ)^2/2
y=tanθ(cosθ-sinθ)^2/2+1
よって、
X=(cosθ-sinθ)^2
Y=tanθ(cosθ-sinθ)^2+1

(3)
X=(cosθ-sinθ)^2=1-2sinθcosθ=1-sin(2θ)
より、
sin(2θ)=1-X
cos(2θ)=√(1-(1-X)^2)
tanθ=2(sinθ)^2/(2sinθcosθ}={1-cos(2θ)}/sin(2θ)={1-√(1-(1-X)^2)}/(1-X)
なので、
Y=tanθ(cosθ-sinθ)^2+1
=X{1-√(1-(1-X)^2)}/(1-X)+1

よって、求める面積は、
∫[0～1]{X*(1-√(1-(1-X)^2))/(1-X)}dX
あとは、
X=1-sint
とでも置けば置換積分で解けるでしょう。