大分大学 医学部過去問

質問

大分大学　医学部の過去問を解いてくるよう言われたんですが…
まったく手も足もでません…。

どなたか解ける方いませんか？

----------------------------------問題----------------------------------
　(1) 6(x-y)＝xyを満たす自然数の組x,yをすべて求めよ。

　(2) 7(x+y+z)＝2(xy+yz+zx)を満たす自然数の組x,y,z(x≦y≦z)を全て求めよ。

----------------------------------問題----------------------------------

回答No.7

kumipapa · ベストアンサー

皆さんが多くの回答を寄せられた後ですが、正月のせいか、いつもめちゃくちゃ鋭い皆さんが珍しく計算間違いをされているようなので。

（１）のような場合、私はお定まりで、整式×整式＝定数　の形にして、右辺定数の約数と整式の対比で考える事が多いです。#3さんの回答と同じなんですけど・・・
6(x-y)=xy　⇔ (x+6)(6-y) = 36
(6-y)は 6 > (6-y) > 0 である36の約数だから
6-y = 1,2,3,4
x+6 = 36,18,12,9　（同順）
故に
y = 5,4,3,2
x = 30,12,6,3　（同順）
求める組(x,y)は(30,5), (12,4), (6,3), (3,2)

（２）は、とにかくxの最小値なんかが分かれば助かるんで、トリッキーで嫌な感じですけど
7(x+y+z) = 2(xy+yz+zx)
⇔　x(7-2y)+y(7-2z)+z(7-2x) = 0
なんですが、7/2＜x (≦y≦z) では左辺＜０なので解なし。
故に x ≦ 7/2の自然数だから x=1,2,3
x=1のとき）
7(1+y+z) = 2(y+z+yz)　⇔　(2y-5)(2z-5)=39
z≧y なので (2z-5) ≧ (2y-5) だから
2y-5 = 1,3
2z-5 = 39,13　（同順）
∴
y=3,4
z=22,9　（同順）

x=2のとき）
7(2+y+z) = 2(2y+2z+yz)　⇔　(2y-3)(2z-3)=37
x=1のときと同様に
2y-3 = 1
2z-3 = 37
∴
y=2, z=20
x=3のとき）
7(3+y+z) = 2(3y+3z+yz)　⇔　(2y-1)(2z-1)=43
x=3≦y≦zを満たす自然数の解はない

よって、x,y,zの組は (1,3,22), (1,4,9), (2,2,20)
計算間違いはしてないと思いますけど・・・。

回答No.6

take_5

（2）x≦y≦zより、x+y+z≦3z、xy+yz+zx≦3z＾2。
7(x+y+z)＝2(xy+yz+zx)より、7(x+y+z)≦21z、2(xy+yz+zx)≦6z＾2。
従って、満たすべきzの正数解が存在するためには、6z＾2≧21z、or、6z＾2≦21zでなければならない。
6z＾2≦21zの時は、z＝3、2、1。これ以降は、（1）の方法を繰り返すと良い。
それで（1）があるんだろう。出題者はヒントのつもりだろうが、ちょつとヒントには遠いかな？
6z＾2≧21zの時は、z＝4、5、6‥‥となるが、Ａno2さんが示している方法で、解なしである事が示される。

未だ、頭が痛い。もし、違ってたら御免なさい。

回答No.5

take_5

2日酔いの頭で、とりあえず（1）だけ。

6(x-y)＝xyより、（x+6）y＝6x。x+6≧7より、y＝6x/（x+6）＝6-36/（x+6）。x+6は36の約数から、x+6≧7よりx+6＝9、12、18、36。

あとの計算は自分でやってね。

（2）はヒントの　x≦y≦zを使うんだろう。

回答No.4

info22

#1です。
補足について
数学の分野により、
ゼロは自然数に含める場合、含めない場合も、両方あるようですが、
下記のURLによれば
http://ja.wikipedia.org/wiki/0
「高校までの数学ではゼロを自然数に含めない」
扱いをするようです。
従って、入試問題ではゼロを自然数に含めないのが
正解のようです。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/0

お礼

わざわざ調べて頂き誠に申し訳ありません…
本当ありがとうございます。
(1)の答え出ました☆
わかりやすい解答ありがとうございます。

回答No.3

Meowth

右辺-左辺=(x+6)(y-6)+36=0
(x+6)(6-y)=36
6-yは5以下で、36の約数 36=2^2×3^2から
6-y=1,2,3,4
y=2,3,4,5
x+6=36/(6-y)=36,18,12,9
x=30,12,6,3
(同順）
（30,2) (12,3) (6,4) (3,5)

お礼

解答ありがとうございます!!
本当感謝の一言です!!!!

参考にさせて頂きます♪
本当にありがとうございます

回答No.2

joggingman

(1)
6x-6y=xy
y=6x/(x+6)=6 +(-36)/(x+6)
x=3,6,12,30のとき、右辺が自然数となる
(3,2),(6,3),(12,4),(30,5)

(2)
x=1のとき、
7+7y+7z=2(y+z+yz)
y(5-z)=-5z-7
y=(5z+7)/(z-5)=5 +32/(z-5)
右辺が自然数となり、ｙ≦ｚとなるのは、
(1,6,37),(1,7,21),(1,9,13)

x=2のとき、
14+7y+7z=2(2y+2z+yz)
y=(3/2) +(37/2)/(2z-3)
(2,2,20)

x=3のとき、
21+7y+7z=2(3y+3z+yz)
y=(1/2) +(43/2)/(2z-1)
z=22のとき、y=1となるので不適

x=4,5,・・・のとき、
7x=y(2x-7)+z(2x-7)+2yz
となり、左辺＜右辺なので、解なし

地道に数えればいいんじゃないでしょうか？

お礼

本当に詳しく書いて頂きありがとうございます。
感謝しても仕切れないぐらいです!!!!!

参考にさせて頂きます☆
本当ありがとうございました。

回答No.1

info22

まず、自然数にゼロが含まれるか？
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0#.E8.87.AA.E7.84.B6.E6.95.B0.E3.81.AE.E6.AD.B4.E5.8F.B2.E3.81.A8.E9.9B.B6.E3.81.AE.E5.9C.B0.E4.BD.8D
ゼロも自然数なので、

(1)式を変形→ 6x=(x+6)y…(A)
(x,y)=(0,0)が自明。

以降y≧1の場合を考えると
6x=(x+6)y≧(x+6)
5x≧x+6
4x≧6　→x≧3/2　→x≧2…(B)
(A)でy≧6とすると(A),(B)を満たすxが存在しない。
従って、1≦y≦5
これでyの範囲が限定されるので
y=1 →6x=(x+6)　→x自然数でないので不適
y=2以降を調べると
(x,y)=(3,2),(6,3),(12,4),(30,5)
が出てきます。

(2)はまた後で

とにかく、やらず仕舞いでは解決しません。
他人任せにしないで、問題に食いついてください。
全て求めるられるわけですから、有限個の解の組しか存在しないはずです。
そうすれば、解答の道筋が見えてくるかと思います。

お礼

すいませんありがとうございます。

私も参考書両手に頑張ってますよ☆
で…1番の答え一応出たんですけど…。
違ってるみたぃです(汗
info22さんの解答を参考にもう１度解いてみます!!!

補足

えっと…すいません(汗
ゼロって自然数でしたっけ？？…。
私の勘違いなら申し訳ありません…