解き方がわかりません・・・

質問

x,y,z は互いに異なる数とする。1/x,1/y,1/z を作ると、これらはx,y,z のいずれかに一致する。ただし xyz≠0　とする。

(1) x^2y^2z^2 の値を求めよ
(2) 0＜x＜y＜z かつ、x+y=4のとき、1/xy+1/yz+1/zx の値を求めよ。

という問題なんですけど、どういう風にといていいかまったくわかりません。解き方を教えてください。お願いします。

回答No.2

kumipapa · ベストアンサー

＞　x+y=4 ではなく、x+z=4でした。
了解です。

(1)はよいですね。３つの異なる数 x, y, z のそれぞれが、(３つの異なる数）1/x, 1/y, 1/z のいずれかと等しいので、
xyz = 1/ (xyz)
(xyz)^2 = 1

(2)
0 ＜ x ＜ y ＜ z と (1) より xyz = 1
0 ＜ x ＜ y ＜ z ⇒　0 ＜ (1/z) ＜ (1/y) ＜ (1/x) で、題意より x = 1/z, y = 1/y, z = 1/x 。
0＜y , y = 1/y ⇒　y = 1

1/(xy) + 1/(yz) + 1/(zx)
= (x + y + z) / (xyz)
(xyz = 1, y=1, x+z = 4 より)
= 5

お礼

なるほど～助かりました。
わかりやすかったです。ありがとうございました。

回答No.1

kumipapa

私が勘違いしているかもしれませんが、（２）はおかしいような気がします。もう一度問題を確認してみて頂けますか。

異なる３つの数 x, y, z のそれぞれが、（３つの異なる数）1/x, 1/y, 1/z のいずれかと等しいのだから、
xyz = 1/(xyz)

（１） x^2y^2z^2 = (xyz)^2 = (xyz)(1/(xyz)) = 1

（２） 0＜x＜y＜z ならば 0＜ (1/z) ＜ (1/y) ＜ (1/x) であり、題意より
x = 1/z, y = 1/y, z = 1/x
ここで、y＞0, y = 1/y より y = 1 であるが、このとき 0＜x＜y で x+y = 4 を満たす x は存在しない。
問題が、x+y=4 ではなくて y+z=4 か、0＜x＜y＜z ではなくて 0＜z＜y＜x ではないでしょうか？

補足

ごめんなさい。書き間違えました。

x+y=4 ではなく、x+z=4でした。