大学で習ってる幾何学なんですが

質問

x^2+y^2+xy-yz+zx-2x+2y-2z+3=0の標準形を求めよ。

という問題なんですがどなたか解ける方がいたら教えていただけませんか？？

回答No.4

info22

#2,#3です。
A#3の補足質問の回答
>/というのは左が分子右が分母の分数ということですよね？
そうです。

と同じ内容です。ここでは分数がかけませんので、A#3の参考URLの中では分数で書かれていますので確認してください。
また、同URLには、２次形式の他の曲面の方程式の標準形とその名称と曲面の形状が整理してまとめて載っていますのでご覧ください。
一方、一般の多変数の２次形式の標準形という定義では、
曲面の左辺の式を自乗の和差に係数がついた式の形（質問の楕円錘面の左辺の式は当てはまる）を言うようですが、
しかし、２次形式の曲面のすべてが自乗だけで表されるわけでない（楕円放物面や双曲放物面など）ので、２次形式の曲面をあらわす場合の標準形についてはA#3の参考URLの中にある２次曲面の方程式の標準形の方を適用した方が良いかもしれませんね。

参考）多変数の２次形式の標準形について
http://www.csis.oita-u.ac.jp/~tanaka/protected/lectures/2007/alg2/14-j.pdf

お礼

ありがとうございます。

回答No.3

info22

#2です。
補足します。
２次曲面の標準形は、
その中心軸や対称軸や対称点（中心）を直交座標軸に一致させ、中心を原点に持っていくような線形変換（つまり平行移動や回転）を行うことですから、
途中で行う平行移動や回転移動や中心軸などをどの直交座標軸に一致させるかで標準形の式が変わってきますので、標準形の式も何通りか存在します（ただし、標準形の中心座標は同じです）。

A#2では、
xの自乗項⇒yの自乗項⇒zの自乗項
という手順で標準形を求めましたが、
yの自乗項⇒xの自乗項⇒zの自乗項
xの自乗項⇒zの自乗項⇒yの自乗項
yの自乗項⇒zの自乗項⇒xの自乗項
などの手順でも異なる楕円錘面の標準形が出てきますので
やってみてください。

楕円錘面の式は
(X^2)/(a^2)+(Y^2)/(b^2)-(Z^2)/(c^2)=0(a>0,b>0,c>0)
ですね（座標軸は入れ替わっても楕円錘面には変わりありません。）。

参考URL：

http://www.rsch.tuis.ac.jp/~naka/naka/scola/member/chapter4_html/chap4.html

お礼

ありがとうございます。
/というのは左が分子右が分母の分数ということですよね？

回答No.2

info22

ヒント）
左辺の式をひたすら自乗形を作るようにして式の変形をしていけば標準形に成ります。
手順1)
左辺をxについて整理し（他の変数はとりあえず定数とみなす）
そうするとxについての自乗形の項が取り出せます。
(x+y/2+z/2-1)^2＋f(y,z)

手順2)
f(y,z)をyについて整理し（zはとりあえず定数とみなす）
そうするとyについての自乗形の項が取り出せます。
f(y,z)=(3/4)(y-z+2)^2＋g(z)

手順3)
g(z)を自乗形にする。
-(z-1)^2

手順4)
左辺=0とすれば標準形になっていますので、
後は、式を見やすい形に整理するだけです。

なお、計算が合っているかは、
自分でチェックしてください。

お礼

回答していただいてありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

「2次形式の標準形」はわかりますか?
たぶん, 線形代数の固有値とか固有ベクトルとかの辺に転がってるはずです.