共振尖鋭度の物理的な意味

質問

共振尖鋭度Ｑが、共進周波数ω0の周りでエネルギーが半分（I/√2)となる周波数ω１、ω２（ω２＞ω１）とすると、Ｑ＝ω0/(ω２-ω１）と定義されることまでは、分かるのですがこれらのω１、ω２のパラメータと共振回路に含まれる素子のパラメータL（コイル）とC（コンデンサ）、およびR(抵抗）との互換がある…

Ｑ＝ω0/(ω２-ω１）＝ω0L/R＝1/ω0RC

…となることがよく分かりませんでした。(右二つの式がイコールでつながることは分かりますが）
このことについて、深く言及されている図書、サイトが見つからないため、
助言もしくは参考サイトなど分かる方、回答をお願いしたいと思います。

回答No.2

inara1 · ベストアンサー

並列回路の Q は1/ω0RC でなく、ω0RC じゃないですか？
エネルギーが半分になる周波数でなく、電流やインピーダンスが 1/√2 になる周波数からも Q が計算できます。

（LCR直列回路）
　　　　　　I →
　┌- R ─　Ｌ ─ C ┐
　V　　　　　　　　　　　│
　└───────┘
LCR直列回路への印加電圧を V、回路に流れる電流を I とすれば
　　　I = V/{ R + j*ω*L + 1/ ( j*ω*C ) } = ω*C*V/{ -ω*C*R + j*( 1 - ω^2*L*C ) }
なので、電流の大きさは
　　　| I | = ω*C*V/√{ ( ω*C*R )^2 + ( 1 - ω^2*L*C )^2 }
これは ω0 = 1/√( L*C ) でピークを持ち、そのときの値は
　　　| I0 | = V/R
となります。ω1 と ω2 では| I | が | I0 | の1/√2 になるので、ω1 と ω2 は以下の方程式の解となります。
　　　ω*C*V/√{ ( ω*C*R )^2 + ( 1 - ω^2*L*C )^2 } = V/{ R*√(2) }
この両辺を２乗して整理すれば、以下のように ω に関する２次方程式になります。
　　　L*C*ω^2 ± C*R*ω - 1 = 0
この解は
　　　ω = { ±R ±√( R^2 + 4*L/C ) }/( 2*L )　[複号任意]
となりますが、ω>0 となるのは
　　　ω = { ±R +√( R^2 + 4*L/C ) }/( 2*L )
しかないので、ω1 < ω2 とすれば
　　　ω1 = { -R +√( R^2 + 4*L/C ) }/( 2*L )
　　　ω2 = { R +√( R^2 + 4*L/C ) }/( 2*L )
したがって
　　　Δω = ω2 - ω1 = R/L
　　　Q = ω0/Δω = ω0*L/R

（LCR並列回路）
　　I →
　┌─┬─┬─┐
　 V　　R　　L　　C
　└─┴─┴─┘
LCR並列回路のインピーダンス Z は
　　　Z = V/I = 1/{ 1/R + 1/( j*ω*L ) + j*ω*C }
　　　　 = ω*L*R/{ -ω*L + j*( 1 - ω^2*L*C )*R }
です。これも直列回路と同様に、Z の大きさのピークの1/√2 となる周波数を計算すれば Q が求められます。途中を省略して結果だけ示せば
　　　Δω = ω2 - ω1 = 1/( C*R )
　　　Q = ω0/Δω = ω0*C*R

お礼

すいません、聞かれていた回路は直列でした。

今までどこの電流値Iをどのパラメータで比べればいいのか分からず四苦八苦していたので、丁寧な解説でとても助かりました。
回答ありがとうございました。

回答No.1

noname#101087

>Ｑ＝ω0/(ω２-ω１）＝ω0L/R

いろいろありますが、一例だけ。
　http://www.ns.kogakuin.ac.jp/~ct13050/text/kyoushin.pdf

お礼

回答ありがとうございます。

結構いろいろなサイトを回ってみたつもりなのですが、なかなか目あての資料を見つけるのは難しいです。
リンクの資料は自分にも読みやすかったので助かりました。
ありがとうございました。