共振回路とQ値について

質問

電気回路を勉強していて躓きました。

共振回路ではω=1/√LCのときにコイルとキャパシタのインピーダンスが逆向きで大きさが等しくなるため、電源側から見るとアドミタンスが0で抵抗のみがつながっているように見え、流れる電流が極値をとるということはわかったのですが、

並列共振回路においてコイルにのみ損失がある場合、

--L--r--
---C---

・共振周波数ω=1/√LC
・回路のアドミタンスが0
・電流が極値をとる

の３つの条件を同時に満たせなくなってしまうために、共振の条件として何を採用したらよいかがわかりません。
損失rが小さいためどれを採用しても実際の値では大きな差は出ないと思うのですが、素子の定数r,C,Lが具体的な数値でなく文字で与えられた場合はどれをもとに解いていけばよいでしょうか。

Q値に関しても同様で、
・電源から流れ込む電流とコイルに流れる電流の比（並列共振）
・電源から流れ込む電流とキャパシタに流れる電流の比（並列共振）
・Q=1/ωＣr
・Q=ωＬ/r
上のようにコイルにのみ損失がある場合、これらのどれを採用したらよいか上と同じような疑問があります。

また、上の回路において損失が電源の周波数に依存する場合について、これらの条件は変わりますか？
（例えば添付画像のように損失が(ωM)^2/Rで表わされる場合）

質問が多くなってしまってすいません。
よろしくお願いします。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

共振周波数は インピーダンス又は アドミッタンスの虚数成分が
0になる周波数を使います。

Im{z(ω)}=0 又は Im{y(ω)}=0

Qに関してはいろいろな定義や求め方がありますが、
Q = | (d log(z(ω0)) / dω0) x ω0 / 2 | というのが便利です。
#ω0は共振周波数。

例えば直列共振なら

z = r + jωL - 1/(jωC)

ω0 = 1/√(LC)

Q = | (jL + 1/(jω0^2・C))/{r + jω0L - 1/(jω0C)} x ω0 / 2 |
= ω0・L/r

並列でコイルに直列に抵抗が入る場合

z(ω)=(r+jωL)/(1-ω^2・LC + jωcr)
=(r + jωL(1-ω^2・LC)-jωCr)/{(1-ω^2・LC)^2 +ω^2C^2}

共振周波数 w0^2 = 1/(LC) - r^2/L^2 (r=0の共振周波数より低くなる)

d(log z)/dω は根性で計算してまとめると 2ω0L^2/{r(r+jω0L)} (ω=ω0 の場合)
＃w0^2 = 1/(LC) - r^2/L^2　も利用してます。

Q = ω0^2・L^2/{r√(L/C)}
＃w0^2 = 1/(LC) - r^2/L^2　も利用してます。

計算ミスがあったら申し訳ないです。

お礼

ありがとうございました。
質問しました定義に関して一発で示していただいてとてもわかり易かったです。
実際に回答者様のように計算してみてQ値が共振の鋭さと言われる所以が分かりました。

回答No.1

bogen555

どんな教科書使ってるんですか？
これなんか共振回路について詳しくしかもわかりやすく書いてありますよ。
http://www.amazon.co.jp/dp/4339000795
続刊の基礎電気回路２では共振回路を使ったフィルタ、３では共振回路の過渡現象まで説明してあります。

> 共振回路ではω=1/√LCのときにコイルとキャパシタのインピーダンスが逆向きで大きさが等しくなるため、
> 電源側から見るとアドミタンスが0で抵抗のみがつながっているように見え、
> 流れる電流が極値をとるということはわかったのですが、
インピーダンスとアドミタンスが混乱しているようですね。
『直列』共振回路では共振周波数において、LCの合成インピーダンスが0になり（合成アドミタンスが∞になるとも言える）、『直列』抵抗のみがつながっているように見える。
『並列』共振回路では共振周波数において、LCの合成アドミタンスが0になり（合成インピーダンスが∞になるとも言える）、『並列』抵抗のみがつながっているように見える。
とゆうことです。
インピーダンスで考えるのか、アドミタンスで考えるのか意識して考えた方がエエですよ。

『並列』共振回路の基本的な形は提示の回路ではなく、 L//C//Rp とすべて『並列』です。
「--L--r--」を直列・並列変換して「Lp//Rp」の形に直して考えます。
そうすると、
・共振周波数ω0=1/√LpC
・共振時回路のアドミタンスは1/Rp（インピーダンスはRp）
となります。
電流の問題は、外部から供給される電流は少ない（I=V/Rp）んですが、LC共振タンクを環流する電流はものすごく大きくなるんで、共振回路の理解がすすむまではペンディングにしておいた方がエエでしょう（回路シミュレータが使えるんならすぐわかります）。
Lだけに損失があるんだから共振回路のQは、
・「--L--r--」直列回路で、Q=ωL/r
または
・「Lp//Rp」並列回路で、Q=Rp/(ωLp)
のどちらにしても同じ値になります。

要は、「--L--r--」を直列・並列変換して「Lp//Rp」の形に直して考えるだけです。
計算の仕方は上記教科書には書いてありますが、書いてない教科書を見ていても難しいことはないんで問題ないでしょう。

なお、共振回路のQは別の求め方もあり、選択度から求めることもあります。
選択度のQと部品のQの関係は、トラ技8月号に載ってたけど簡単に求めていたから計算してみてください。

お礼

ありがとうございます。
川上先生の本、読んで勉強してみました。
すべて基本の形に変形すればいいんですね。わかりやすかったです。