関数ｆ（ｘ）が区間0≦ｘ≦1で単調に増加する条件は0＜ｘ＜1のとき、ｆ

質問

関数ｆ（ｘ）が区間0≦ｘ≦1で単調に増加する条件は0＜ｘ＜1のとき、ｆ’（ｘ）≧0であること。
とあるのですが、なぜこのような条件となるのでしょうか？
自分は条件が、0≦ｘ≦1のとき、ｆ’（ｘ）＞0かと思ったのですが、考え方が分かりません、、、

どなたか詳しく説明して頂けないでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.5

funoe · ベストアンサー

＃３です。

まず、自己補足。
文脈から判断すると、「条件」という言葉は「十分条件」の意味で
用いられていると判断するのが妥当。

ただ、（0，１）で導関数が非負であることだけで、[０，１]で単調増加といえないことは
先の反例のとおり。
（０，１）で導関数ｆ’（ｘ）≧０　に加え
[０，１]でｆが連続　とかいった隠れた条件があるとのではないかというのが推測。

もとより、導関数の存在等は単調増加であることの必要条件ではない（不連続関数で単調増加のものがあるから）ので、文脈上「条件」が「必要十分条件」とはならないことは自明でした。

以上、自己補足

－－－
？？？
　　誤解のないよう追記。
　「連続関数で」「両端を除く開区間で f'＞0 が必要十分です」は「≧」では？

　（－１，１）における、f(x)=x^3　の　x=0　で、f'(0)=0　だけど単調増加ですよね。

　　この単調増加は、狭義単調増加。

　　　ついでに補足すると、一般には
　　ｘ＜ｙ　⇒　ｆ（ｘ）＜ｆ（ｙ）　は狭義単調増加
　　ｘ＜ｙ　⇒　ｆ（ｘ）≦ｆ（ｙ）　が広義単調増加　が定義。
　　（ｘ＝ｙ　⇒　ｆ（ｘ）＝ｆ（ｙ）　はいうまでもないことじゃないですか・・）

回答No.4

alice_44

いろいろな事が、未整理のようです。

「単調に増加する」というのには 2 種類あって、
x＜y ならば f(x)＜f(y) というのが、狭義単調増加。
x≦y ならば f(x)≦f(y) というのが、広義単調増加。
どちらの場合も、f が微分可能である必要はありません。

もし、閉区間で微分可能な関数が狭義単調増加
である条件のことを言っているなら、
両端を除く開区間で f'＞0 が必要十分です。
端点では f'＞0 でなくてもかまいません。
平均値定理の内容を確認してみれば、解ることです。

回答No.3

funoe

疑問点は２つですね。

１）　0<f'(x)　なのか、　0≦f'(x)　なのか。（等号の有無）

　（－１，１）における、f(x)=x^3　の　x=0　で、f'(0)=0　だけど単調増加ですよね。
　　というわけで、等号はあっても良いかと・・。

２）0≦f'(x)　の範囲が(0,1)でよいのか、［0,1］ではないのか。（端点の有無）

　　確かに、
　　f(0)=1
　　f(x)＝ｘ　０＜ｘ≦１　とf(x)を定義すると、もちろん、fは単調増加ではないのに、
　　0<x<1では微分可能かつf'(x)=1>0　ですね。　

　　このことから「関数ｆ（ｘ）が区間0≦ｘ≦1で単調に増加する条件は」とい
　　う文脈にでてくる「条件」は必要十分条件ではないようですね。
　　あるいは、［0,1］で連続とかの他の見えない条件が隠れているとか・・・。

　　もし他の条件が隠れていないのなら、
　　ご指摘のとおり、両端を含めた区間で導関数が非負(端点では片側微係数）としたほうが
　　美しいとおもいますね。

回答No.2

noname#118938

fが[0,1]で単調増加⇔任意のx1,x2(0<x1<x2<1)に対して
f(x1)≦f(x2)
さらにfが(0,1)で微分可能とし
　　　　　　　　　　　特にxがx1近傍でf(x1)に等しいなら
　　　　　　　　　　　　f'(x1)=0
　　　　　　　　　だからf'(x)≧0

回答No.1

Tacosan

「単調に増加する」というのはどのように定義されていますか?
例えば y = x^2 は 0 ≦ x ≦ 1 で「単調に増加している」といえますか?