ごめんなさい（長くて見づらいです。）

質問

二次関数の問題なんですが、解答の説明をみても
納得できないので、お願いします。

ｙ＝（ｘ²－２ｘ）²＋６（ｘ²－２ｘ）＋３の最小値とそのときのｘの値を求めよ。

解説
ｘ²－２ｘ＝ｔとおくと
ｔ＝（ｘ－１）²－１　ゆえにｔ≧ー１
ｙ＝ｔ²＋６ｔ＋３＝（ｔ＋３）²－６
よってｔ＝－１のとき、最小値はー２
そのときのｘの値はｘ²－２ｘ＝－１より
（ｘ－１）²＝０よりｘ＝１

置き換えるところまではわかりますが
ゆえにｔ≧ー１がどうしてなのか、
問題を解くのにわかっていないとだめですか？
おなじような問題で

二次関数ｙ＝ｘ²ーａｘ＋１のー２≦ｘ≦１における最大値は８である。ａの値を求めよ。

ｙ＝（ｘ－二分のａ）²－４分のａ²＋１
二分のａ≦－二分の１すなわちａ≦ー１のとき、ｘ＝１で最大値を取るからａ＝－６。。。。。。
同じようにして、もうひとつの回答が２分の３です。

二分のａ≦－二分の１すなわちａ≦ー１のとき
の部分がわかりません。先生、数学の得意な方教えてください。ここだけがたよりなので。。。助けてー

回答No.3

kony0

（１つめ）
もしtの範囲がt>=-1であることを考えてなかったら・・・
単純にy=t^2+6t+3の最小値を考えてしまうと、
「t=-3のとき最小値-6」と考えてしまうでしょう。
で、t=-3→x^2-2x=-3→x=1±(√2)i・・・あれ?!ということになります。

あとは、#2のTattokoさんがおっしゃるとおり
＞t≧-1の範囲では右上がりとなり、t=-1のところが最小値になります。
というわけです。

（２つめ）
範囲付きの２次関数では、まじめに考えれば、範囲と軸の位置関係により大体５パターン程度に分かれます。
以下、放物線が下に凸であることを仮定します。（上に凸の場合は、「右上がり」と「右下がり」などが逆転するだけで本質は同じ）
1.軸が範囲の左外（「軸＝範囲の左端」を含む）
　→範囲内では右上がりの曲線→最小：左端、最大：右端
2.軸が範囲内の左半分
　→範囲内では「J」のような形状→最小：軸上、最大：右端
3.軸が範囲内のちょうど真中
　→範囲内では「U」のような形状→最小：軸上、最大：左端、右端
　（実際には、2.や4.とくっつけて考えてもいいかもしれません）
4.軸が範囲内の右半分
　→範囲内では「し」のような形状→最小：軸上、最大：左端
5.軸が範囲の右外（「軸＝範囲の右端」を含む）
　→範囲内では右下がりの曲線→最小：右端、最大：左端
ということで、最大値に注目をする今回の問題については、
「軸」と「範囲内の真中」との大小関係を考えて、
・「軸」<=「範囲内の真中」なら・・・最大値は右端でとる。
・「軸」>=「範囲内の真中」なら・・・最大値は左端でとる。
という場合わけをすることになります。ちなみに、等号はどちらにつけてもかまいません。

さて、下記のような問題の場合は、この細かい場合わけを駆使する必要があります。時間があればチャレンジしてみてください。
(Q)y=x^2-ax+1の、-2<=x<=1における最大値と最小値の差が4であるとき、aの値を求めよ。
(A)a=-2,0
ヒントは、場合わけをしっかりすること、各場合分けの中で（方程式を解いた）解が出てきたときに、それが場合わけに適合しているか吟味することです。
上記解のほかにa=-7/3,6,-8,7/3が途中候補として出てきて、それをきっちり落とすことができれば、この手の問題はある程度自由に解けると自信を持ってもらってもいいかもしれません。

回答No.2

Tattoko

以下の文はA^Bと書かれているところをAのB乗と考えてくださいね。
　決め手は、グラフを想像することです。

　まず、
　　y = (x-1)^2 - 1
の最小値はわかりますか？ このグラフは(1,-1)を頂点とする下に凸な放物線なので、最小値は-1です。
　これど同様に、1問目でおいたtは
　　t = (x-1)^2 - 1
ですので、xがどんな値であれ、-1 より小さくはなりません。ですからt≧-1です。そして、
　　y = (t+3)^2 - 6
は (-3,-6)を頂点とする放物線ですので、t≧-1の範囲では右上がりとなり、t=-1のところが最小値になります。
　つまり、横をx,縦をtにしたグラフと、横をt,縦をyにしたグラフの2つをかけばいいんです。

　下の問題はx,yのグラフをかくと、(a/2, -a/4 + 1)を頂点としたグラフになるので、aの値によって頂点が -2≦x≦1 におさまったり左や右に飛び出たりします。最大値を考えるときは、-2≦x≦1 の中心である x=-1/2 より左に頂点がある、つまり a≦-1/2 ならば、 x=1 のyの方が x=-2 のyより大きくなりますし、ぎゃくに a>-1/2 ならば、x=-2のほうが大きくなります。そのため -1/2 を境に分けて考えます。

回答No.1

oshiete_goo

関数の話をしているときは, 変数xやyは実数です．
『実数xについて必ず　x^2≧０（等号成立はx＝0のときのみ）』
ということを思い出してください．

t＝(x-1)^2 -1
と置くと，xは実数より(x-1も実数で）,
(x-1)^2≧０　(等号はx＝1のとき)
より
t＝(x-1)^2 -1≧－1　　(等号はx＝1のとき)
です．

[後半]
考えている区間が－２≦ｘ≦１であり，グラフは下に凸な放物線なので，軸の位置（頂点のx座標）をずらしながらグラフをいろいろ描けば分かりますが，
区間の中央よりも左に軸があれば(今の場合a/2＜－1/2)，軸から最も遠いx＝1のときに最大．これは-2≦a/2＜－1/2　でも　a/2＜－2でも　どちらでも同じです(さらに分けなくて良い)．
逆のときは（a/2＞－1/2のとき）x＝－2で最大値をとります．
勿論，a/2＝－1/2　のときは，ｘ＝－2,１のどちらでもｙは同じ値(ともに最大値)になります．