難問です（解析学）

質問

こんにちは。1/2+(1/2^2)+(1/2^3)+・・・・+(1/2^r)=1-(1/2^r)になる事を証明せよという問題です。これはジオメトリックシリーズの公式っぽいんですが、少し違います。どうやって証明するのかさっぱり分かりません。どなたか出来る方証明してください。宜しくお願いします。

回答No.2

bobo_0827 · ベストアンサー

s=1/2+(1/2^2)+(1/2^3)+・・・・+(1/2^r)とおきます。
1/2*s=(1/2^2)+(1/2^3)+・・・・+(1/2^r)+(1/2^(r+1))
s-1/2*s=1/2-(1/2^(r+1))
1/2*s=1/2*(1-1/2^r)
s=1-1/2^r
となります。

お礼

ありがとうございました。そういう方法もあったんですね。結局数学的帰納法を使って証明しました。またお願いします。

回答No.6

Meowth

ジオメトリックシリーズの公式
ってなんですか
高校の教科書そのままですが
難問です（解析学）
どこが難問なんですか

回答No.5

kabaokaba

>ジオメトリックシリーズの公式っぽいんですが、少し違います。

そのまんま，gemetricです．初項1/2，公比1/2．項数r．
確かに series ではないですが，それは末節でしょう．

この場合は，高校で習う等比数列の和を使うまでもなく，
算数パズル的に
最初に「半分」，次に残りの半分，さらに次はその半分と
ずっと足していくのですから，r回足したときに
「残っている」部分は「最後に足した分」です．
したがって，総和は
1 -「残っている部分」= 1 - (1/2^r)
と考えることもできます．

回答No.4

noname#50187

解析学のことは分からないので的外れかもしれませんが・・・。

　数列の問題として考えるのはだめでしょうか・・・？

　左辺の　1/2+(1/2^2)+(1/2^3)+・・・・+(1/2^r)　は、

　初項が 1/2 、公比が 1/2 、項数が r の等比数列になっていると思います。

　初項が a　、 公比が r 、項数が n の等比数列の和は、

　a(1-r^n)/1-r

　ですので、　a に 1/2、r に1/2、n に r を代入すると、

　1/2{1-(1/2)^r} / 1-(1/2)

= 1/2{1-(1/2)^r} / (1/2)

= 1-(1/2)^r

　となり、右辺と等しくなると思います。

回答No.3

Hayabusa_K

初項a(1)=1/2
公比r=1/2
で
a(n)=(1/2)*(1/2)^(n-1)
の等比数列の和で表せばいいんじゃないでしょうか?

S(n)=a(1-r^n)/(1-r)
=(1/2){1-(1/2)^n}/{1-(1/2)}
=(1/2){1-(1/2)^n}/(1/2)
=1-(1/2)^n
=1-(1/2^n)

ここで，n=rとおけば，あなたの示した式になります．

回答No.1

Meowth

1/2+(1/2^2)+(1/2^3)+・・・・+(1/2^r)
=(1/2){1-(1/2^r)}/{1-1/2]=1-(1/2^r)
なんで
難問です（解析学）
なんでしょうか？