中学受験の過去問題です。

質問

解らない問題が２つあります。
１、A＋B＝A×B－Bと約束するとき、
　　３＋●＝７＋４
　　●を求める問題で、答えは１２ですが、理由が解りません。

２、Aの容器（縦６×横８×高６）（単位ｃｍ）に５ｃｍまで水が入っています。
　　Bの柱を（縦４×横３×高１０）をAに毎秒１ｃｍで沈めたときに水がこぼれ始めるのは何秒後か？
また、Bの柱がAの底面に到着後同じ速さで引き上げると、水面から離れるのは何秒後か？
　　　　　の問題です。
　　解答には、３秒後、9.5秒後ということなのですが…
　　納得いきません…。
　　よろしくお願いいたします。

回答No.4

ILOVMIKI39 · ベストアンサー

問題２について

Ｂがスタートして１秒経ったら４ｘ３ｘ１＝１２で１２立方ｃｍ分だけ水の中に入りその分だけ水を押し上げます。
柱の部分は水が入って来ないので容器Ａの底面積６ｘ８＝４８から柱の底面積４ｘ３＝１２を差が水の存在できる領域です。
１秒で１２立方ｃｍの水を押し上げるのですが押し上げられる部分の水の底面積は４８－１２＝３６平方ｃｍなので
１２÷３６＝１/３で１秒間に１/３ｃｍ水位が上昇します。
最初の水面から容器のトップまでは１ｃｍなので１秒間に１/３上昇すれば３秒でトップまで上昇します。
Quattro99さんのご指摘がございますが設問は何秒後にこぼれるか？ではなくこぼれ始めるか？なので
答えは３秒後でＯＫです。つまり３秒後はまだこぼれていませんがこぼれ始めるのです。

次の設問の概要は柱が底に到達する時間とその時容器からこぼれた水を考慮して
底から離れていき水面から出るまでの時間の合計を計算しなさいとなります。
柱が底までいくのにかかる時間は初めの水位である５cm進めばよいので５秒となります。
このとき前問の１秒間に１/３ｃｍ上昇するを考慮すると５秒間では５/３ｃｍ押し上げます。
しかし実際には１ｃｍしかなく５/３－１＝２/３ｃｍの水位分はこぼれてしまいます。
この時の上昇する水の底辺は３６平方ｃｍなので２/３ｃｍ分とは３６ｘ２/３＝２４立方ｃｍとなります。
元々水は２４０立方ｃｍあったのでこぼれた分を引くと残りは２１６立方ｃｍとなります。
この２１６立方ｃｍの水の高さ(柱なし)は２１６÷４８＝４．５ｃｍです。(柱が底まである場合の高さは２１６÷３６＝６ｃｍつまり容器のトップまでです。)
４．５ｃｍの高さまで柱が上がるのに要する時間は４．５秒となります。
よって５秒＋４．５秒で９．５秒が答えとなります。

お礼

ILOVMIKI39さんありがとうございました。
柱が入ることばかり考えて、その分の空白領域が狭くなることを考えませんでした。
私も２０年前は数学に自身があったはずなのに…
中学受験の息子に、塾に通わずになんとか自力で教えながら、一緒に受験勉強しています。
解らない問題が続々出てきていますので
また、解りやすい解答よろしくお願いいたします。
ありがとうございました。

回答No.3

Quattro99

> ３秒沈めたら、３×４×３＝３６立法ｃｍで
違いますよ。沈めていくと水面が上がってきますから。

こぼれる寸前というかこぼれ始める瞬間というか、その時の状態を考え、そのときBの柱はスタート時点からどれだけ下がっているのかを考えるのがわかりやすいのではないかと思います。1秒で水面がどれだけ上がるからと考えるととてもやっかいなことになると思います。
水面から離れるほうを考えるときも同様です。

※ 問題文が少しおかしいように思います。3秒後はこぼれていません。こぼれ始めるのは3秒を越えた時です（表面張力等は無視）。離れるほうも同様。

お礼

昨日、お風呂に入ったときにピンときました。
柱は、水の中だけでなく空白部分にも存在するんですよね。
問題文の指摘もありがとうございます。
そうですよね…

中学受験の息子がいますが、塾に通わずになんとか自力で一緒に受験勉強しています。
２０年前は数学に自信があったはずなのですが…
解らない問題いっぱいです。。。
また質問させていただきたいので、よろしくお願いいたします。
どうもありがとうございました。

回答No.2

debut

No1です。

　Ｂを沈めるときのスタートは、Ａの上のふちから１ｃｍだけ
　低い水面ですよね？
　ということは、３秒たったとき、Ｂの底の部分はＡの上の
　ふちからは４ｃｍの所にあります。
　このとき、Ｂの、Ａに入っている部分の体積は４８立方ｃｍ
　になっています。
　水がこぼれる所はＡの上のふちなので、ここを基準に考えて
　みてください。

お礼

昨日、ずっと考えていて…
お風呂に入ったときに、ピンときました。
柱が水面に入ることばかり考えて、同時に空白部分にも柱が存在することを考えませんでした。
中学受験の息子を塾に通わせずに、一緒に受験勉強しています。
昔は数学に自信があったのですが…
解らない問題が続々です。
また、近いうちに質問させていただきます。
よろしくお願いいたします。
どうもありがとうございました。

回答No.1

debut

1.決まりに従って７＋４を計算すれば
　７＋４＝７×４－４＝２４です。
　３＋●の方は、３×●－●なので、これが２４になれば
　いいですね。
　３×●－●は、●３個から●１個を引いたものなので●が２個
　です。
　つまり、２×●＝２４　→　●＝２４÷２

２．
　Ａの容器が満タンになるときの体積は２８８立方ｃｍ
　すでに入っている水は２４０立方ｃｍ
　よって、あと４８立方ｃｍの物が入れば満タン状態になり
　ます。Ｂの容器の底面積は１２平方ｃｍなので高さは４ｃｍ
　とわかります。この４ｃｍはＡの容器の上のふちからの長さ
　なので、はじめの水面からは３ｃｍだとわかります。
　よって、３秒後。
　ＢがＡの底に到達したとき、ＢがＡに入っている部分の体積
　は７２立方ｃｍなので、水は２８８－７２＝２１６立方ｃｍ
　あります。
　もしここで、Ｂをぬき取ったとすれば、Ａにある水の深さを
　□として　６×８×□＝２１６から□＝４.５ｃｍとわかり
　ます。つまり、Ｂが水面をはなれるしゅんかんは水面が４.５
　ｃｍの高さになっているということです。
　Ｂが底まで到達するのに５秒、そこから、Ｂが水面をはなれる
　しゅんかんまでが４.５秒で、合計９.５秒になります。

補足

１、については理解できました。ありがとうございます。
２、について。鈍くてスミマセン…
　　問題に補足します。沈めるのは水面から毎秒１ｃｍです。
　　私の考えだと、３秒沈めたら、３×４×３＝３６立法ｃｍで、
　　まだこぼれないように感じるのですが…
　　なので、４秒沈めて、始めてこぼれるのではないかと…？
　　思ってしまいます。
　　そこが、納得できないんです…よろしくお願いします。