三角関数について

質問

三角関数をべき級数で定義した場合、単位円の円周上の点の座標が ( cos θ , sin θ ) であることは、どのように導かれるのでしょうか？

普通に学校で習うと、図形的なイメージによる三角比から始まって、三角関数、微分～テイラー展開～べき級数という流れで習うものだと思います。自分もそうやって習ってきました。が、べき級数を定義とすることも可能という記述も過去に何度か見かけた記憶があり、最近になって気になり出したので、自分なりに考えたり調べたりしたのですが、どうしてもべき級数での定義からスタートして図形的なイメージにたどり着くことができません。ネットで探すにもうまいキーワードが思いつけず、挫折してしまいました。

よろしくお願いします。

回答No.3

metzner

こんにちは、三角関数を級数で定義した場合に、通常高校でならう図形的定義（三角比）
がどのように導出されるかという事ですね。その概略を示したいと思います。

まず級数の定義から、
d/dx cosx = -sinx, d/dx sinx = cosx,
cos(0) =1, sin(0) =0はすぐに導出できますね。

cos,sinの上での微分の結果により
d/dx (cos^2x +sin^2x)=0
は容易ですね。これよりcos^2x +sin^2x＝定数ですが、上のx=0での値により、この
定数は１になります。
すなわち級数の定義と微積分の計算だけから（図形的考察なしに）

cos^2x +sin^2x=1

が導出されます。

ここで直交座標系(x,y)でx^2+y^2=1は原点が中心の半径１の円を表すことが（三角関数や微積分と無関係に）わかるので、以上より(cosx,sinx)はこの円上の点である事がわかります。

次にこの点(cosx,sinx)が円のどの位置にあるかについて考察します。まず
x=0で(1,0)である事は既に示しました。またxを0から増加させると、x=0での微分係数から
この点は反時計回りに進ことがわかります。
そこでxを０からwまで動かした時の点(cos(x),sin(x))の軌跡の長さを計算しましょう。
xをxからx+dxに微小に動かした時の軌跡の長さdLは
微小直角三角形に対するピタゴラスの定理より

dL^2 ={(d/dx cosx)^2+(d/dx sinx)^2}dx^2

ですが、上式右辺はcos^2x +sin^2x=1よりdx^2となります。
すなわち

dL =dx

よって軌跡の長さはwとなります。
すなわち円弧の長さがwの時、点は(cos(w),sin(w))にいます。
この円弧の長さwは原点からみたこの円弧の角度wです（これが角（平面角＝ラジアン）の定義）。
以上より通常の三角比の定義が定理として得られました。

回答No.2

178-tall

>…円周上の点の座標が ( cos θ , sin θ ) であることから e ^ ( i θ ) をイメージするという説明のように見えるのですが。。。

p.10 の挿し絵をご覧になってますネ。

そのすぐ上にある「マクローリン展開」をご覧ください。

お礼

ありがとうございます！　マクローリン展開のほうを見てじっくり考えたいと思います。

回答No.1

178-tall

たとえば、{指数　三角　複素関数} の検索を見ていくと、参考 URL の pdf あり。
その中の、

　第2講オイラーの等式と指数関数
　2.2 オイラーの等式

p.10 … にある e^(iθ) の級数展開に関する 2 ～ 3 行のコメントが、標準的な発想らしいです。

参考URL：

http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~kawahira/courses/kansuron.pdf

お礼

ありがとうございました。思っていたより簡単で、腰が抜けてしまいました。

補足

すみません。参考URL 拝見しましたがまだよく分からないので、もう少し説明していただけませんでしょうか。わたしには、円周上の点の座標が ( cos θ , sin θ ) であることから e ^ ( i θ ) をイメージするという説明のように見えるのですが。。。