次の計算をお教えください。

質問

p,q=1-pともに定数の時
\sum_{k=0}^n(k+1)p^{2}(1-p)^2
上の式が下の式にどうすればなるのかわかりません。

=p\left[\tfrac{1-q^{n+1}}{p}-(n+1)q^{n+1} \right]

よろしくお願いします。

回答No.2

ryn

\sum_{k=0}^n(k+1)p^{2}(1-p)^k
であれば No.1 に書いたとおりのやり方で出来ます．

お礼

どうもありがとうございます。役に立ちました。

回答No.1

ryn

p=1 のとき2つの式は一致しません．

> \sum_{k=0}^n(k+1)p^{2}(1-p)^n
の間違いではないでしょうか？
それなら
　\sum_{k=0}^n q^{k+1} = \frac{q-q^{n+2}}{1-q}
の両辺を q で微分して整理すれば成り立つことがわかります．

補足

失礼しました。\sum_{k=0}^n(k+1)p^{2}(1-p)^2ではなくて、\sum_{k=0}^n(k+1)p^{2}(1-p)^kの間違いです。よろしくお願いします。