次の文字式を方程式として解けなくて困ってます

質問

P=x/n

Y=P＋α×√[{(N-n)/(N-1)}×{P×(1-P)/n}]

(※添付画像参照)

この式をnに関して解きたいです。
(回答として「n=」となるようにしたい)

Pがnの関数でもあるので、混乱して解けなくなってしまいました。

恐れ入りますが、どなたか回答していただけますでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.3

spring135 · ベストアンサー

y=x/n+α√{[(N-n)(1-x/n)(x/n)]/[n(N-1)]}

=x/n+α√{[(N-n)x(1-x/n)]/[n^2(N-1)]}

=x/n+(α/n)√{[(N-n)x(1-x/n)]/(N-1)}

両辺にnをかけて

ny=x+α√{[(N-n)x(1-x/n)]/(N-1)}

(ny-x)^2=α^2[(N-n)x(1-x/n)]/(N-1)

(N-1)n(ny-x)^2=-α^2x(n-N)(n-x)

(N-1)n(ny-x)^2+α^2x(n-N)(n-x)=0

(N-1)[y^2n^3-2xyn^2+x^2n]+α^2x[n^2-(N+x)n+xN]=0

[(N-1)y^2]n^3+[α^2x-2xy(N-1)]n^2+[(N-1)x^2-α^2x(N+x)]n+α^2Nx^2=0

[(N-1)y^2]n^3+[α^2-2y(N-1)]xn^2+[(N-1)x-α^2(N+x)]xn+α^2Nx^2=0

nに関する3次式になったのでカルダノの解を用いればn=の形に表せますが

カルダノの解は実用上ほとんど役に立ちません。

結論はこの先は数値計算しかないでしょう。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F

お礼

ご回答ありがとうございます。

お！なんと3次関数の式として
整形されるんですね。
カルダノの…勉強してみます。

回答No.8

178-tall

>n以外が全て与えられても、
>n=で解けないものもある、
>ってことなんですかねぇ。

代数方程式 (多項式の求根) の大多数は、そうなんですヨねぇ。

{ (N-1)n}*{nY - x}^2 - x(N-n)(n-x)(an)^2 = 0

お礼

たびたびご回答ありがとうございます。

nの式として示せなそうなんですね。
今回は諦めます。

いろいろ助言いただきありがとうございました。

回答No.7

178-tall

蛇足。

n=0 が 2 重零点。

残りは、
{ (N-1)n}*{nY - x}^2 = x(N-n)(n-x)a
の 3 零点か…。

お礼

No.6と合わせてご回答ありがとうございます。

nの次数だけを追うと、
元の式がルートの外で一次、
中で最大3次の変換なのかな、と考えていたので、5次⁉︎は驚きました。

n以外が全て与えられても、
n=で解けないものもある、
ってことなんですかねぇ。

回答No.6

178-tall

Y = (x/n) + a*√[ ( (N-n)/(N-1) ) * (x/n)(1-(x/n))/n ]
　= (x/n) + a*√[ (N-n)x(n-x)/{ (N-1)n^3} ]
　　　　↓
{Y - (x/n) }/a = √[ (N-n)x(n-x)/{ (N-1)n^3} ]
　　　　↓
{nY - x}^2/(an)^2 = (N-n)x(n-x)/{ (N-1)n^3}
　　　　↓
{ (N-1)n^3}*{nY - x}^2 = x(N-n)(n-x)(an)^2

…とひたすら整形し、さらに多項式展開すると？

n の 5 次方程式なのかナ。

回答No.5

178-tall

< ANo.4

「nに関して解きたい」のなら、添付画像の式のまま解けませんか？

お礼

No.4とあわせてご回答ありがとうございます。

そうなんです、恐らく形の悪さが混乱の元になってます…

添付画像のように、Y,n,N,x,αの5変数
のうち、n以外の4変数に実数が
与えられた時のnの解を
エクセルで出したいので、n=の形が
必要なんです。

回答No.4

178-tall

>Pがnの関数でもあるので、混乱して解けなくなって…

式の整形が半端ゆえに、P と n が混在してしまうのでしょうネ。

>Y=P＋α×√[{(N-n)/(N-1)}×{P×(1-P)/n}]
　　↓
さらに、n=P/x とすれば、
　　↓
　Y=P＋α×√[{(N-(P/x))/(N-1)}×{P×(1-P)/(P/x) }]
…と、P の項のみになる。

回答No.2

B-juggler

おじゃま。

関数Ｐ（ｎ）を　Ｙ＝の式に代入しているのだから、そのままといても大丈夫。

一点注意！　ｎ≠０はおいておかないとね。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

ご回答ありがとうございます。

そのまま、とは式をPの関数として、
nを排除して解く、ということでしょうか？
Pがnの関数なので、結局その後の
P=にする形がわからないんです…難しい。

回答No.1

Tacosan

n を掛けて x を移項してから 2乗.

お礼

ご回答ありがとうございます。

そこまではいくのですが、
どうしてもn=の形にできないんです…