x^i（xのi乗）の微分はどうやるのですか？

質問

つい最近i^iを知り、感動したのですが、その後でx^iの微分に興味が湧きました。
学校の先生はマクローリン展開を使えば出来る、などと言っていたのですが、イマイチよくわかりません。
解説お願いします。

回答No.5

noname#45996

あなたの悩みがそのまま小説になったようなものがあります。
参考URLの[第三章 数学者]がそれですが、x^iというものを思いついてしまった数学嫌いな高校生が、その謎を探求して大発見するという、数学のおもしろさとエッセンスが詰まった傑作です。

参考URL：

http://www.exfiction.net/tsuzurai/bungei/mubino-mahoroba/mubino-mahoroba.htm

回答No.4

zk43

そもそも複素関数としてのz^αの定義は、e^(αlogz)です。
logが無限多価なので、z^αも無限多価になります。
（主値を考えれば1価関数です。）
主値をとれば、log(i)=log|i|+i・arg(i)=πi/2だから、
i^i=e^(i・log(i))=e^(i・πi/2)=e^(-π/2)
などもわかります。
logも指数関数の逆関数として定義されるものであり、三角関数も指数
関数を使って定義できるので、指数関数が最も基本的かつ重要な関数
であると言えると思います。
三角関数の加法定理なども、指数関数の指数法則に集約されてしまいます。

回答No.3

kabaokaba

i は虚数単位でしょうから，二項展開はアウトです＞NO.1さん

x^i の導関数は ix^{i-1} でいつものものです．
無限多価ですが導関数は変わりません．証明も簡単です．

cを任意の複素数とする．
z^c を z で微分することを考える
z^c = e^{c log(z)} であることを考えて
{z^c}' = e^{c log(z)} {clog(z)}'
= c/z e^{c log(z)}
= (c/z) z^c
= c z^{c-1}
証明終．
合成関数の微分に過ぎません．
したがって

>学校の先生はマクローリン展開を使えば出来る、

マクロリン展開はほとんど関係ありません．
もちろん，複素数の複素数乗を定義するときに
オイラーの公式を使い，オイラーの公式の証明には
マクロリン展開が使われるという意味では
「使えば出来る」のですが，これは不適切なヒントです．

お礼

綺麗な証明に拍子抜けしました
こんな単純だったのか・・・
ありがとうございます。

回答No.2

joggingman

ちょっと確かではないんですが、
a,bを複素数としたとき、
a^b = exp{b*log(a)}
だから、ｘが実数でも成り立つはずだから、
x^i = exp{i*log(x)}
となって、ｘで微分すると、
(i/x)*exp{i*log(x)}
でいいのかどうかは、ちょっと確認してません。。。

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

fuuraibou0

ｙ＝ｘ^n　の微分が、ｙ'＝dy/dx＝d(ｘ^n)/dx＝ｎ*ｘ^(n-1)　になる証明は、

Δｙ＝(ｘ＋Δｘ)^n－ｘ^n　に二項定理を用いると、

Δｙ＝ｘ^n＋ｎｘ^(n-1)Δｘ/１!＋ｎ(ｎ－１)ｘ^(n-2)(Δｘ)^2/２!＋・・・・・・
　　　＋(Δｘ)^n－ｘ^n

∴　Δｙ/Δｘ＝ｎｘ^(n-1)＋ｎ(ｎ－１)ｘ^(n-2)Δｘ＋・・・・・・＋(Δx)^(n-1)

∴　ｙ'＝limΔｙ/Δｘ＝ｎｘ^(n-1)　です。
・・・・ Δx→0

よって、一例として、ｙ＝ｘ^3 の微分は、ｙ'＝３ｘ^(3-1)＝３ｘ^2　になります。

お礼

夜遅くにありがとうございます。