exp(x^2)のマクローリン展開について

質問

exp(x^2)のマクローリン展開は、exp(x)のマクローリン展開において、xをx^2に置き換えることで求めることができます。
しかし、地道にn次導関数を使って求めようとすると、n次導関数に0を代入した時に0となってしまって上手くいきません。
この違いはなぜ起こってしまうのでしょうか。ご存知の方がいらっしゃいましたら、ご回答よろしくお願いします。

回答No.1

oboroxx · ベストアンサー

だいぶ昔の知識なので間違っていたらすみません。
n次導関数が0になるのとならないのがあるのでは？
exp(x^2)を微分すると、2x*exp(x^2)
2次導関数は、2exp(x^2)+4*(x^2)*exp(x^2)
となり、マクローリン展開はx=0近傍での展開なのでx=0を代入すると2次導関数では２が残ります。
同じようなことを繰り返すので、0にはなりませんよ。

お礼

僕の計算が間違っていたみたいです！ありがとうございました！

回答No.2

asuncion

f(x) = exp(x^2)とする。
f'(x) = 2exp(x^2)
f''(x) = 4exp(x^2)
f'''(x) = 8exp(x^2)
...
f{n](x) = (2^n)exp(x^2)

f[n](0) = (2^n)exp(0) = 2^n ≠ 0

＞n次導関数に0を代入した時に0となってしまって
これはどういう状況を指しているのでしょうか。

お礼

回答していただきありがとうございました！僕が間違えていたみたいです！