常微分方程式の一般解の求め方

質問

下記の問題がわからず困っています。

次の微分方程式の一般解を求めよ。
y" + y = 0

特性方程式を出して解けると思うのですが、
虚数の重解が出てきた場合どのように取り扱ったらいいのかわかりません。
ご教授よろしくお願いします。

回答No.6

Knotopolog

次のような考え方もあります．
y' を dy/dx であるとして，与式の両辺に y' を乗ずると

y"y' ＋ yy' ＝0

です．これを変形すると，

((y')^2)' ＋ (y^2)' ＝0

ですから， A を積分定数として，これを積分すると，

(y')^2 ＋ y^2 ＝ A

になります．これを変形すると，

y' ＝ ±( A － y^2 )^{1/2}

であり，y' ＝ dy/dx により

dy/dx ＝ ±( A － y^2 )^{1/2}

であるから，これは

dx ＝ ±( A － y^2 )^{－1/2} dy

と書けるので，B を積分定数として，更に，これを積分すると，

x ＝ ±∫( A － y^2 )^{－1/2} dy ＋ B

が得られます．これが与式 y" ＋ y ＝0 の一般解を表示する式です．
設問が「微分方程式の一般解を求めよ」ですから，これでいいと思います．
どこか，間違えているかな？

回答No.5

devilstick

汚い解答失礼しました。
Tacosanの言う通り、
y''=-ω^2*y
の形の場合は、
y=C1cos(ωx)+C2sin(ωx)と書けることは
常識の範囲内で、物理などをやっていても
様々な範囲で何度も出てきますので覚えて
おいても損はないでしょう。

回答No.4

Tacosan

こんなの, 特性方程式も何もなく解けて当然では?
sin と cos だよね.

回答No.3

devilstick

定数係数の2階微分方程式y''+Py'+Qy=0…☆について、
(ⅰ)特性方程式が複素数解a±ibを持つとき、
☆の一般解は
y=C1exp(ax)cos(bx)+C2exp(ax)sin(bx)…★
と書けます。
なので、この問題では、特性方程式が
λ^2+1=0⇔λ^2=-1⇔λ=±iとなるので、
a=0,b=1として★に代入するだけで作業的に解くことができます。
ちなみに、定数係数の二次方程式において虚数の解が出てくるときは、
その解と共役な複素数（たとえば、a+ibの共役な複素数はa-ib）
も解となるので、虚数の重解が現れることはありません。
また、
(ⅱ)特性方程式が相違なる実数解a1,a2をもつとき、
☆の一般解は
y=C1exp(a1x)+C2exp(a2x)
(ⅲ)特性方程式が重解aをもつとき、
☆の一般解は
y=(C1+C2x)exp(ax)
と書けます。（証明は…勉強してくださいな。かなり基本なのでこれくらいはできた方がいいと思います。）
ちょっと式が見にくかったらきいてくださいなorz

回答No.2

owata-www

y=e^λxを代入すると

y" + y = 0
→λ^2e^λx + e^λx＝（λ^2 + 1）e^λx＝０
になりますよね

つまり、λ^2 + 1＝０になります
これは重解をもちますか？（私が寝ぼけているだけかもしれませんが）

回答No.1

owata-www

http://ufcpp.net/study/analysis/diffsecond.html#double

こうです

しかし、重解にはならないような気がするんですが…

補足

早速の回答ありがとうございます。参考にさせていただきます。
重解にはなりませんか…
できれば解答例などいただけるとうれしいです。