数列の収束に関する「コーシーの収束判定基準」を正確に述べよ。

質問

数列の収束に関する「コーシーの収束判定基準」を正確に述べよ。
次に、フィボナッチ数列の隣接する２項の比が黄金比に収束することを証明せよ。
証明の方針として、まず、「コーシーの収束判定基準」に照らして収束性を明らかにし、しかる後に極限値が黄金比であることを示せ。

回答No.1

Anti-Giants

コーシーの判定法
|x(n)-x(m)|→0(n→0,m→0).
ならばx(n)は収束。

F(n+2)=F(n+1)+F(n).
F(n)=[a^n-(-a)^{-n}]/root{5}.
a=[1+root{5}]/2:golden ratio.
R(n)=F(n+1)/F(n).

n>m.
|R(n)-R(m)|
=|F(n+1)/F(n)-F(m+1)/F(m)|
=|F(n-1)/F(n)-F(m-1)/F(m)|
=|R(m-1)-R(n-1)|/R(m-1)R(n-1)
=|F(n+1)F(m)-F(m+1)F(n)|/F(n)F(m)
≦|a^{n+1+m}-(-1)^{m}a^{n+1-m}
-(-1)^{n+1}a^{-n-1+m}+(-1)^{n+1+m}a^{-n-1-m}
-[a^{m+1+n}-(-1)^{n}a^{m+1-n}
-(-1)^{m+1}a^{-m-1+n}+(-1)^{m+1+n}a^{-m-1-n}]|/F(n)F(m)
≦Ca^{n-m}/a^{n}a^{m}
=Ca^{-2m}→0.

r=lim_{n→∞}R(n).

R(n)=1+1/R(n-1).
r=1+1/r.
r^2-r-1=0.
r=a.