条件確率とベイズの定理

質問

条件確率である
P(A|B)=P(A∩B)/P(B)
とは和訳するとどういう意味なのでしょうか？
またベイズの定理の
P(B|A)=P(A|B)×P(B)/P(A)
もうまく理解できません…何か良い例はないでしょうか？
回答よろしくおねがいします。

回答No.6

tecchan22 · ベストアンサー

＃４です。ちょっとだけ勉強してきました。

僕はいんちきコインを賭博師に提供する職人で、３種類のいんちきコインを製造しているものとします。
夫々表が出る確率は、
タイプＡ・・・1/4
タイプＢ・・・1/3
タイプＣ・・・2/3
とします。（裏が出る確率は、それぞれ１－表が出る確率）

いま、タイプＡを３００枚、Ｂを１００枚、Ｃを２００枚造ったのですが、誤って全部混ぜてしまいました。(>_<)

そこで今その中から一枚一枚とって、それがＡ,Ｂ,Ｃのどのタイプか、調べることにしました。見た目・重量などでは区別がつかない（極めて精巧）ので、何度か投げて、表が出る割合を調べることにしました。

と言っても顧客の賭博師たちに卸すまでに時間がありません。(ToT)

何千回何万回と実験すれば、ほぼ正確に分類できるでしょうが、
せいぜい一枚につき１０回ずつしか、実験できません。

さていま、一つのコインをとり、１０回投げて、表が４回出たとします。この事象をＴとします。

ということは、今起きたのは、
（ア）取り出したコインがＡであって、１０回中表が４回出た。
（イ）コインがＢであって、１０回中表が４回出た。
（ウ）コインがＣであって、１０回中表が４回出た。
のどれかですね。

取り出したコインがタイプＡである事前確率（実験する前に考えられる確率)P(A)は300/(300+100+200)）＝1/2で、
タイプＡを１０回投げて表が４回出る確率P(T|A)は、10Ｃ4{(1/4)^4}{(3/4)^6}
ですね。
だから、一枚選んで１０回投げたとき、（ア）となる確率は、このP(A)×P(T|A)で求まります。

同様に、
P(B)=1/6、P(T|B)=10C4{(1/3)^4}{(2/3)^6}
P(C)=1/3、P(T|C)=10C4{(2/3)^4}{(1/3)^6}
であり、
（イ）となる確率はP(B)P(T|B)
（ウ）となる確率はP(C)P(T|C)
で求まりますね。

ということは、Ｔが起きたとき、そのコインがＡである確率は、
P(A|T)=P(A)P(T|A)/{P(A)P(T|A)+P(B)P(T|B)+P(C)P(T|C)}
で計算できるわけですね。
※分母は、イコールP(T)です。

そこで、計算機で計算すると、
P(A|T)=0.562
P(B|T)=0.292
P(C|T)=0.146
となり、このコインはきっとＡだと推定できるわけです。

それであわてて分類して、無事売り抜けました。（さあ、失った信用はどの位でしょうか？？）

素朴に考えると、4/10=0.4で、一番近いのはＢ、と考えてしまいますが、Ｂは枚数が少なく、Ａは多いので、実はＡである確率の方が大きくなるんですね。

とにかくこのように、たくさん実験できないときに推定をする際に、特に有用なようです。

長くなって済みません。

お礼

回答ありがとうございました。
頑張ってさらに理解を深めようと思います

回答No.7

mamirs3876

これは#1さんの仰ってる例が1番分かりやすいでしょうね。「ベイズ統計学」となるとなかなか頭のいたい問題が出てきますが、「ベイズの定理」自体はそんなに問題にはならないとおもいます。#1さんの例をもう一度なぞってみます。

　　　　　　　　Ｂ：男子　￢Ｂ：女子　　計
　Ａ：眼鏡あり　　１０人　　２０人　　３０人
￢Ａ：眼鏡なし　　３０人　　４０人　　７０人
　　　　計　　　　４０人　　６０人　　１００人

一部変えてあるのは総計を100人、と付け足した事です。単にこれを使って計算してみればいいだけです。

P(A∩B)＝男子の眼鏡クン/総数＝１０人/１００人＝10％

まあ、これは簡単でしょう。
次に、P(A|B)×P(B)を見てみましょう。P(A|B)は「男子と言う条件の下での眼鏡クンの割合」です。ここの数値には女子は関係ありません。またP(B)は「全体の中での男子の割合」ですね。

P(A|B)×P(B)＝眼鏡クンの数/男子の数×男子の数/総数＝眼鏡クンの数/総数＝１０人/１００人＝10％

はい。不思議な事に全く同じ数となりました。
次にP(B|A)×P(A)を調べてみます。P(B|A)は「眼鏡をかけてると言う条件の下での男子の割合」です。ここの数値には「眼鏡をかけてない」は関係ありません。またP(A)は「全体の中での眼鏡使用者の割合」ですね。

P(B|A)×P(A)＝男子の数/眼鏡使用者の総数×眼鏡使用者の総数/総数＝１０人/３０人×３０人/１００人＝10％

と全く同じ数が得られます。
従って、

P(A∩B)＝P(A|B)×P(B)＝P(A|B)×P(A)

と言う関係が得られます。これがベイズの定理を導き出す前提です。

良くいわれるベイズの定理の応用では、「スパムメールフィルタ」と言うものがありますね。原理的には上のような判定法を用いています。
例えば「SEX」と言う単語が入ったメールを受け取る。そのメールがスパムか否か?と言う問題です。スパムだったら迷惑メールボックスに自動で突っ込んでほしい。そう言うプログラムを作りたい。
ベイズの定理を用いると、

P(スパムメール|SEX)＝P(SEX|スパムメール)×P(スパムメール)/P(SEX)

と記述できます。左辺は「SEXと言う単語を含んだ上でのスパムメールである確率」右辺は「SEXと言う単語を含みかつスパムメールである」確率を「SEXと言う単語を含むメールを受け取った確率」で割ればよい。重要なのは、分子のP(SEX|スパムメール)と言う部分で、これが示唆するのは「スパムメールのデータベースがあり、そのうちの何件がSEXと言う単語を含んでいる」情報さえあれば、そこからP(スパムメール|SEX)が予測出来る、と言う事です。コンピュータ上で解釈するには非常に便利な数式なんです。
例えば、

　　　　　　　　　　　￢Ｂ：ハム　　Ｂ：スパム　　計
￢Ａ：SEXと言う単語ナシ　　１０通　　２０通　　３０通
　Ａ：SEXと言う単語アリ　　３０通　　４０通　　７０通
　　　　　　　　　計　　　　４０通　　６０通　　１００通

なんてデータがあれば「SEXと言う単語が含まれている条件でのスパムである確率」は暫定的には計算が可能です(ハムメールとはスパムメールじゃない"通常の"メールの事を指します)。
こまかい部分のテクニックは色々とありますし、差はあります。例えば、実際は「たった一つの単語を使って」判定する事はあり得ず、複数の単語を使って判定します。また、P(スパムメール)を馬鹿正直に(上の例では)40/100と計算せず、適当な数値を使う場合もありますが、原理的には同じです。
この辺りは広義では「判別問題」といい、またスペシフィックには「テキスト分類問題」と呼びます。また、上のような「ベイズの定理」を使ったテクニックを「ナイーブベイズ分類法」等と呼びます。

お礼

詳しく説明していただき、ありがとうございます
具体例を用いると理解しやすいですね

回答No.5

Ishiwara

＃３です。ベイズの式の説明です。
数値例は、＃１さんが示されたものを使わせていただきます。

この学校には、男子がP(B)＝40/100の確率で入ってきます。そして、男子はP(A|B)＝10/40の確率でメガネをかけます。女子はP(A|NotB)＝20/60の確率でメガネをかけます。

生徒からランダムに１人を選んだところ、メガネをかけていることが判明しました。この人が男である確率は？というのが問題です。

実は、確率は、もともと「未来の事象」について述べるものであって「過去の事象」に関するものではありません。ここでは「男か女か」は過去の事実であって、すでに確定しており、単に解答者が「まだ知らない」だけの話です。このために「ベイズの定理」は、すべての数学者が納得しているものとは、なっていないのです。まだ「哲学的な」議論の余地を残しています（リンク先参照）。しかし、私たちは、このような必要にしばしば直面し、この定理を道具として便利に使っています。

ベイズの公式の発想は、（A(メガネ着用)となるすべての場合の確率）の中に占める（B(男子)を経由してA(メガネ)となる場合の確率）の割合が「メガネの生徒が男である確率」であって、次のように書くことができます。

P(B|A)=P(B)P(A|B)／(P(B)P(A|B)＋P(NotB)P(A|NotB))----(1)
数値は、(2/5)(1/4)／((2/5)(1/3)＋(3/5)(1/3))＝1/3
この式を簡単にすると、
P(B|A)=P(A|B)(P(B)/P(A))----(2)
数値は、(1/4)((2/5)/(3/10))＝1/3

(1)→(2) の証明は、省略しますが、やってみる価値はあります。
P(NotB) は1-P(B)に、P(A|NotB)) は P(A)-P(A|B) に置き換えられます。

しかしベン図を使うと、かなり直観的に、(1)と(2)が等しいことが分かります。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%BA%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86

回答No.4

tecchan22

#2です。

確率はともかく、統計は「経験者」ではないのですが、

ベイズの定理の式自体は確率論的にはほとんど自明（少なくとも、簡単に証明できる）ですが、それを統計学に用いて、非常によい「推定」の方法を、ベイズさんが考えたということでしょう？

ですから、式の意味よりも、「どのように用いるのか」が重要で、それが分からないと、ベイズの定理の有用性は分からないはずです。
そこは、統計の経験者・専門家が現れて、説明して下さるのを期待しましょう。（僕には無理です、ごめんなさい）

だけど、それは種々の本、またＨＰにも書いてあることですから、それを自分で勉強されて、分かられなければ、また質問するという様にした方がいいと思います。
応用の仕方が分かれば、式自体の意味は自然に分かると思いますよ。

※素人考えで言えば、P(B|A)とP(A|B)と、右辺と左辺でＡ,Ｂが入れ替わっているのがきっとポイントで、P(B|A)の値を統計的に推定したいとき、それが直接は難しいが、P(A|B)を統計的に推定することは可能なときに、用いるということでしょうね。具体例はちょっと思いつきませんが。経験者さんよろしく。

回答No.3

Ishiwara

ベイズの定理の意味・記述が理解できないのか、それとも、式(1)から式(2)を導くことができないのか、ちょっとハッキリしません。
式を導くだけならば、(1)を(2)に代入することで、容易にできそうですが。

補足

式の導き方は分るのですが、
どういう意味なのか、またどういう使い方をするのかが理解できないのです

回答No.2

tecchan22

全体事象をＢに制限する、ということです。

全体事象をＢに制限したときの、Ａの確率（Ａがおきる確率）は、
P(A∩B)/P(B)
になるでしょう？

分からなければ、図を描いて考えてみて下さい。

言葉を変えれば、「Ｂが起きるときの、Ａが起きる確率」です。

ベイズの定理の意味は、条件付確率の意味が分かった上で、考えてみて下さい。

お礼

全事象をBに制限するというのは分りやすいですね
回答ありがとうございます<m(__)m>

回答No.1

ymmasayan

例だけ説明します。
良く使われるのが性別と眼鏡の関係です。

Ａ事象・・眼鏡をかけている
Ｂ事象・・男子

　　　　　　　　Ｂ：男子　￢Ｂ：女子　　計
　Ａ：眼鏡あり　　１０人　　２０人　　３０人
￢Ａ：眼鏡なし　　３０人　　４０人　　７０人
　　　　計　　　　４０人　　６０人

とします。

>　P(A|B)=P(A∩B)/P(B)とは和訳するとどういう意味なのでしょうか？
P(A|B)：Ｂ事象が発生したときのＡ事象、つまり１０／４０＝２５％です。
P(A∩B)：Ａ事象とＢ事象が同時に起こるので１０％です。
P(B)：Ｂ事象の確率＝４０／１００＝４０％です。

>　またベイズの定理のP(B|A)=P(A|B)×P(B)/P(A)もうまく理解できません
P(B|A)：Ａ事象中のＢ事象ですから１０／３０＝３３％
P(A|B)：先ほどの２５％です。
P(B)：Ｂ事象＝４０／１００＝４０％
P(A)：Ａ事象＝３０／１００＝３０％

これで式が理解できたら式の証明に挑戦してみてください。

お礼

簡単な例をありがとうございます。
証明してみます