条件付き確率の公式

質問

条件付き確率の公式で
P(A∩B)=Pa(B)×P(A)
というものがあります

P(A∩B)は AとBが起きる確率
Pa(B)は Aが起きた状態でBが起きる確率
だと思うのですが、それだとどちらも同じ意味のように思うのです...

何が違うのか、わかりやすく教えていただけると助かります
お願いします！

回答No.4

kamiyasiro

何が違うのか

前の回答者の例で書きますと、このような二元表になって、
（アンダーバーは回答システムのスペース削除機能への対抗であり無視してください）

＿＿＿＿＿＿＿｜事故を＿｜事故を
＿＿＿＿＿＿＿｜起こす＿｜起こさない
－－－－－－－＋－－－－＋－－－－
酒を飲んだ＿＿｜確率１＿｜確率２
酒を飲んでない｜確率３＿｜確率４

この時の条件付き確率は、「どういう条件の時に起きた確率か」であり、
分母として足し合わせる箇所が違います。

・分母が縦の和
確率１／（確率１＋確率３）が、P（酒を飲んでいた｜事故を起こした）
事故を起こしたうち、酒を飲んでいた割合
・分母が横の和
確率１／（確率１＋確率２）が、P（事故を起こした｜酒を飲んでいた）
酒を飲んでいたうち、事故を起こした割合
・P（A∩B）は同時確率であり確率１。
２事象が同時に起きる確率。酒を飲みかつ事故を起こす確率。

Ｐ（A∩B）＝Ｐａ（Ｂ）×Ｐ（Ａ）
つまり、飲酒しかつ事故を起こす確率は、
（事故を起こした｜酒を飲んでいた）×（酒を飲んだ確率）であり
　確率１＝｛確率１／（確率１＋確率２）｝×｛確率１＋確率２｝

回答No.3

ereserve67

こういう例を考えてみましょう．

ある人がいます．この人はお酒を飲みます（A）．また自動車事故も起こします（B)．

P(A∩B)：お酒を飲んで自動車事故を起こす確率
P(A)：お酒を飲む確率(1/12)
P(B)：自動車事故を起こす確率
Pa(B)：お酒を飲んだ時自動車事故を起こす確率(1/5)
Pa'(B)：お酒を飲んでいない時自動車事故を起こす確率(1/10)

よーく考えて下さい．

P(A∩B)：「お酒を飲んで自動車事故を起こす確率」とPa(B)：「お酒を飲んだ時自動車事故を起こす確率」

は意味が違うはずです．

・P(A∩B)は「お酒を飲む機会と自動車事故を起こす機会が重なってしまった」確率で普通の人なら小さいはずです．
・Pa(B)は「お酒を飲んだとき，自動車事故を起こす」確率でこれは普通の人であっても若干大きくなるはずです．

実際0<P(A)<1ですから

P(A∩B)=P(A)Pa(B)<Pa(B)

となり直感にあいます．

ついでに自動車事故を起こす確率P(B)をもとめてみましょう．

P(B)=P(A∩B)+P(A'∩B)=P(A)Pa(B)+P(A')Pa'(B)=(1/12)(1/5)+(11/12)(1/10)=2/120+11/120=13/120

さらにPb(A)：自動車事故が起こった時，それが飲酒が原因の確率です．これは次のようにして求められます．

Pb(A)=P(A∩B)/P(B)=(1/12)(1/5)/(13/120)=(2/120)/(13/120)=2/13

回答No.2

suko22

例えば、１から10までの数字が書かれたカードが10枚あるとします。

10枚の中から1枚カードを引いたとき、2の倍数である事象をＡ
10枚の中から1枚カードを引いたとき、3の倍数である事象をＢ
とすると、

1枚カードを引いたときに2の倍数である確率はＰ（Ａ）＝5/10＝1/2（∵2,4,6,8,10が2の倍数）
1枚カードを引いたときに3の倍数である確率はＰ（Ｂ）＝3/10（∵3,6,9が3の倍数）

と表されます。

1枚のカードを引いたときに2の倍数かつ3の倍数である確率はＰ（Ａ∩Ｂ）＝（Ａ
かつＢとなる場合の数）/（すべての場合の数）＝1/10（∵6だけが2の倍数かつ3の倍数）

ここで、1枚カードを引いたときに2の倍数であったとき、それが3の倍数でもある確率を求めたいとき、Ｐａ（Ｂ）と書きますが、これはＡという事象が起きたことが前提で、その上で事象Ｂが起きる確率を求めよ、ということを意味していますから、Ｐa（Ｂ）＝（ＡかつＢとなる場合の数）/（事象Ａが起きる場合の数）＝1/5（分子の1は6の1通り、分母の5はＡ事象2,4,6,8,10の5通りを表しています。）

Ｐａ（Ｂ）はＡという事象が起きることを前提としているので、確率の計算の定義における分母がＰ（Ａ∩Ｂ）とは違っています。

回答No.1

Tacosan

ふつ～の 6面体のさいころで
A: 奇数が出る
B: 3 の倍数が出る
としたとき, P(A∩B) と Pa(B) はそれぞれいくらでしょうか?