条件付き確率の和の公式に関する質問

質問

ベイズの定理 は以下の式を形式的に使って式展開を進めていくようです。
P(A∩B)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)
P(A)=P(A|B)+P(A|B~) ~は逆とか補集合です。

2番目の式だけを考えるのですが、
A:明日晴れ
B:私が今日ラーメンを食べる
でもいいですね。
A,Bのとり方は何でもアリ、制限がないように見えます。

ところが、B=Aとして考えるとP(A|B)=P(A|A)=1, P(A|B~)=P(A|A~)=0
となり、P(A)=1となります。言葉にするならトートロジーで”明日晴れなら、明日晴れる”という意味になります。
奇妙ですが間違いではないですね。

ここでもし、A≠BだけどB⇒Aということが分かっている現象を持ってきた場合、どうなるでしょうか。
P(A|B)=1, P(A|B~)=α>0 （αは別途検討）ですが、P(A)=1+α > 1 となるように見えます。これはダメですね。

P(A)=P(A|B)+P(A|B~)　でA,Bに関して制約があるように見えてくるのですが、どうでしょうか。
ベイズ理論では確率が変化していくと考えるので時間の流れでみないといけないからAよりもBは過去でなければならないとかでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.1

f272

そもそもP(A)=P(A|B)+P(A|B~)は一般には成立しません。
P(A)=P(A∩B)+P(A∩B~) のことを言いたいのか？

補足

コメントありがとうございます。すみません、間違えました。この質問取り下げです。
P(A)=ΣP(A|Bi)P(Bi)=ΣP(A∩Bi)でした。P(A)=ΣP(A|Bi)というのは間違いでした。ベイズでよく出てくるのですが。