連立方程式について教えて下さい。

質問

多元連立方程式について教えて下さい。

資料では、次式は、X,Y,Z,Q1,Q2,Q3,Q4が未知数の多元連立方程式で、

Q1=0.5*√(X-Y-0.5)
Q2=0.4*√(Y-X-0.3)
Q3=0.3*√(Y-Z-0.4)
Q4=0.2*√(Z-Y-0.4)
ΣQ=Q1+Q2+Q3+Q4=0

Q1+Q2+Q3+Q4=0になるようなX,Y,Zを求めることに帰する、と書いてあるのですが、
このような方程式の解を手計算で求めることはできるのですか？
手計算で可能だとしたら、その解法を教えて下さい。
また、手計算で無理だとしたら、どのように考えればよろしいのですか？
なお、参考の書籍＆ＵＲＬなどがありましたら教えて下さい。

どうかよろしくお願いいたします。

回答No.4

oshiete_goo

＞２分法やニュートン・ラフソン法をご存知ですか？
数値計算の参考書には間違いなく載っている話で，
ニュートン・ラフソン法は，単にニュートン法と書いてあるものも多いですね．
書籍だけでなく，web上でもこれらをキーワードにすれば概要の紹介やサンプルプログラムは見つかるでしょう．

本題の手計算による解法は未解決ですが，いずれにしてもよほど特殊な初期値とかでない限り，近似値から出発して収束させるような計算が要りそうです．

お礼

ご解答、ありがとうございます。
やはり手計算では、無理なのでは。。。
近似値による収束演算の方法で、検討してみます。
ありがとうございました。

回答No.3

oshiete_goo

＃２ですが，補足です．
＃２の後半で
＞さらに条件(5)を
＞Q1+Q2＝C　・・・(8)
＞Q3+Q4＝－C　・・・(9)
＞(Cは第3の定数) と分離すると，
と書きましたが，元々条件(5)は４次元空間の平面の式であり，分離定数Cは，本当は"定数"では無く，パラメータ(つまりは変数)のつもりです．

全体をQ1～Q4の４次元ユークリッド空間と思うと，
(6),(7)は２つの楕円柱の式とみて，(5)の４次元平面との共有点を求めるという話と解釈できそうですが，これだけだと４変数に対して条件式が３つで，形からすると一意的には決まらない気がします．（話を誤解していますか？）係数に特殊な条件をつけるとうまく決まるのでしょうか．
この辺は物の分かった方に解説をお願いしたいと思います．

補足

解答、ありがとうございます。
ご説明いただいた内容を拝見して、検討してみます。

資料によると、
「Qは、平方根を含むため、直接解を求めることが難しく、
手計算では煩雑になるため、電算機による繰り返し計算が便利である。
電算機利用の場合には、２分法やニュートン・ラフソン法によって
解を求めるのが一般的である。」
２分法やニュートン・ラフソン法をご存知ですか？
もし、ご存知ならご指導をよろしくお願いいたします。

回答No.2

oshiete_goo

＃１さんに対する補足を拝見しました．

Q1=K1*√(P1-P2+Pt1) ・・・(1)
Q2=K2*√(P2-P1+Pt2) ・・・(2)
Q3=K3*√(P2-P3+Pt3) ・・・(3)
Q4=K4*√(P3-P2+Pt4) ・・・(4)
ΣQ=Q1+Q2+Q3+Q4=0　 ・・・(5)

なのでしょう．
K1～K4はどれも０でなく，Pt1～Pt4も矛盾無く与えられていると思って形式的に解くと，
(Q1/K1)^2＝P1-P2+Pt1
(Q2/K2)^2＝P2-P1+Pt2
この２式の和より
(Q1/K1)^2＋(Q2/K2)^2＝Pt1＋Pt2＝A　とおく.　(実解なら，A≧０　が必要)　・・・(6)
同様にして
(Q3/K3)^2＋(Q4/K4)^2＝Pt3＋Pt4＝B　とおく.　(実解なら，B≧０　が必要)　・・・(7)

(6),(7)を楕円の式とみて，さらに条件(5)を
Q1+Q2＝C　・・・(8)
Q3+Q4＝－C　・・・(9)
(Cは第3の定数)
と分離すると，
楕円(6)と直線(8)の交点としてQ1,Q2は(存在すれば)求められ，
同様に楕円(7)と直線(9)の交点としてQ3,Q4は(存在すれば)求められる．

このような流れでいいのでしょうか．

回答No.1

hinebot

X,Y,Z,Q1,Q2,Q3,Q4が実数だとしたら、解は存在しないと思いますが…。

∵
Q1=0.5*√(X-Y-0.5) ≧0
Q2=0.4*√(Y-X-0.3) ≧0
Q3=0.3*√(Y-Z-0.4) ≧0
Q4=0.2*√(Z-Y-0.4) ≧0

なので、Q1+Q2+Q3+Q4≧０
Q1+Q2+Q3+Q4=0　であるためには、Q1=Q2=Q3=Q4=0 でなければならない。
しかし、Q1=0.5*√(X-Y-0.5)=0　より　X-Y-0.5=0 ∴X-Y = 0.5
一方、Q2=0.4*√(Y-X-0.3)=0　より　Y-X-0.3=0　∴X-Y = -0.3
これらは相反する条件【矛盾】である。

補足

ご指摘ありがとうございます。
私の説明不足で申し訳ないのですが、以下の式だった解は出ますか？

Q1=k1*√(P1-P2+Pt1)
Q2=K2*√(P2-P1+Pt2)
Q3=K3*√(P2-P3+Pt3)
Q4=K4*√(P3-P2-Pt4)
ΣQ=Q1+Q2+Q3+Q4=0

お答えをどうかよろしくお願いいたします。