連立１次方程式について知りたいです

質問

連立１次方程式は解をもつか、またもつ場合は解の値が何になるのか分かりません。
（１）
｛２x＋２y＋z＝９
｛x－y＋２z＋２w＝５
｛x＋２yーz－w＝２

（２）
｛x＋y＋z＝０
｛x＋ay＋z＝０
｛ax＋y＝０　　　　　です。

よろしくお願いします。

回答No.3

Ishiwara

(1)は、未知数の数が式の数より多いので、解けません。
(2)は、a=0の場合は、式の数が不足するので解けません。
a<>0の場合は、解があります。x、y、zすべて0です。

回答No.2

kabaokaba

(1)のケース：
２x＋２y＋z＝９・・・(A)
x－y＋２z＋２w＝５・・・(B)
x＋２yーz－w＝２・・・(C)
(B)+2x(C)より
3x+3y=9だから x+y=3
これを(A)に代入して
6+z=9 だから z=3
z=3を(B)に代入して
x-y+2w=-1・・・(B)'
z=3を(C)に代入して
x+2y-w=5・・・(C)'
(B)'-(C)'より
-3y+3w=-6
y-w=2 よって w=-2+y
一方，x+y=3 より x=3-y
よって，
(x,y,z,w)=(3-y,y,3,-2+y)
つまり，tを任意の複素数として
(x,y,z)=(3-t,t,3,-2+t)

(2)のケース：
x＋y＋z＝０・・・(A)
x＋ay＋z＝０・・・(B)
ax＋y＝０・・・(C)

(A)-(B)より (1-a)y=0
aが1ではないとき，y=0
(C)より，ax=0
ここで，aが0ではないとき，x=0
よって(A)より z=0
つまり，aが0でも1でもないときは (x,y,z)=(0,0,0)
次に a=0 のとき
(A)は x+y+z=0
(B)は x +z=0
(C)は y =0
よって，x+z=0，y=0つまり，(x,y,z)=(x,0,-x)
整理すると，tを任意の複素数として，(x,y,z)=(t,0,-t)
最後に a=1 のとき
(A)は x+y+z=0
(B)は x+y+z=0
(C)は x+y=0
よって，x+y=0，z=0なので，
tを任意の複素数として，(x,y,z)=(t,-t,0)
以上より，
a=0 のとき (x,y,z)=(t,0,-t)
a=1 のとき (x,y,z)=(t,-t,0)
それら以外のとき (x,y,z)=(0,0,0)

以上から分かるとおり
>連立方程式というのは未知数の数と同じ数の方程式がないと解けません。
というのは，あくまでも目安に過ぎません．

方程式の数と未知数の数が揃っていても
解が一意とは限りませんし，
方程式が多くても，少なくても
解が一意であったり，なかったり，一意ではなかったり，
さらに「一意ではない」にもいろいろな段階があります．
詳しくは「線型代数」の本を見てください．
完全に分類されてます．

回答No.1

pasocom

連立方程式というのは未知数の数と同じ数の方程式がないと解けません。
(1)の場合、未知数がｘ、ｙ、ｚ、ｗ　と４つあるのに式が３つしか無いので解けません。
一方、(2)は解けるはずです。
x＋y＋z＝０・・・1式
x＋ay＋z＝０・・・2式
ax＋y＝０・・・3式

3式から、y=-ax・・・4式
これを2式に入れて
x+a(-ax)+z=0　
よって
z=a^2x-x・・・5式
4式と5式を1式に代入すればｘが求まります。