三角関数の問題

質問

aは実数の定数、0≦θ≦2πの範囲において、
cos2θ-4（a+1）cosθ-4a-1=0
を満たす異なるθの個数を求めよ。

という問題で、
cos^2θ-2（a+1）cosθ-2a-1=0
t=cosθとおく
t^2-2（a+1）t-2a-1=0

判別式は　d/4=（a+2）^2-2　グラフを図示する

(1)-2-√2＜a＜-2+√2　ではtは解なし
(2)a＝-2-√2，-2+√2　でtはそれぞれ１つずつ解を持つ
(3)a＜-2-√2，-2+√2＜a　でtはそれぞれ2つずつ解を持つ

ここまでは分かるのですが、-1≦t≦1の処理とtの値に応じたθの
個数の求め方などが良く分かりません。
分かる方お願いします。

回答No.1

Meowth · ベストアンサー

判別式も大事ですが、さらに、もう１つ
もとの
y＝t^2-2（a+1）t-2a-1（=0）
のグラフがx軸と交差する点（解のことだけど）
が-1≦t≦1　
正確には
t＝-1　t＝1　（このときは θは１つのtに１つ）
か
-1＜t＜1　　（このときはθは１つのtに２つ）
を考える必要があります。平方完成して、軸の位置が
わかるようにして、軸がどこにあるのかを考えて
-1≦t≦1の間の交点＝解の個数を調べる必要があります。

お礼

回答ありがとうございます。
f(t)が(-1,2)を通る事と、
x=1とグラフが接するy座標-4a-2を考えると
判別式のグラフからa=-1/2と、
あと軸a+1は-1より左に来ないことから
a<-2を省いて答えが分かりました。

回答No.3

postro

その方針だとややこしくなるので、次の方針を提案します。
t^2-2（a+1）t-2a-1=0
をaについて解いて
a=(t^2-2t-1)/{2(t+1)} 　　ただし　t≠-1　のとき
f(t)=(t^2-2t-1)/{2(t+1)} 　として f'(t)　を求め、増減表をつくって　y=f(t) のグラフの慨形を書く
そのグラフは、-1≦t≦1　の範囲で十分。
直線 y=a との交点の数で、、-1≦t≦1　の範囲のtの実数解の個数がわかる。

お礼

回答ありがとうございます。
微分でも解けるんですね。
解き方は分かりませんが覚えておきます。

回答No.2

take_5

tの両端については、別途考えてください。考え方だけを書いときます。

tとcosθの対応は、
(1)0≦θ≦π/2　→0≦t≦1の時は1：1
(2)π/2≦θ≦3π/2　→-1≦t≦0の時は1：2
(3)3π/2≦θ≦2π　→0≦t≦1の時は1：1　　
の３つの場合わけが必要です。

＞グラフを図示する

与式を変形して、y＝2a（t+1）とy＝（t-1）＾2-2とのグラフの交点として、-1≦t≦1で考えると良いです。

お礼

回答ありがとうございます。
yのグラフを描いて軸と判別式のグラフをいじっていると出来ました。