正規分布について

質問

計算の証明なのですが、
∫∞～－∞(x^2/2)dxを√２に導くことができません。
どなたか教えてもらえたら光栄です。

回答No.4

Meowth · ベストアンサー

補足の位置がちがうけどたぶんここのでしょう

2重積分の変数変換をします。
厳密にはヤコビアンですけど、簡単に
x=rcosθ、ｙ＝ｒsinθ
から
(x^2+y^2)＝r^2
dxdy は　rdrdθ
積分区間は
0≦ｒ≦∞　0≦θ≦２π
exp{(-(x^2+y^2)/2}
は
exp{(-r^2/2}
S^2
=∫{0≦θ≦２π}dθ∫{0≦ｒ≦∞} exp{-r^2/2}rddr
＝２π∫{0≦ｒ≦∞} exp{-r^2/2}rddr
＝２π[ exp{-r^2/2}]{0≦ｒ≦∞}
=２π
S=√２π

回答No.3

Meowth

S=∫∞～－∞exp(-x^2/2)dx
とすると、
S=∫∞～－∞exp(-y^2/2)dy
S^2=∫∞～－∞dx∞～－∞ exp(-x^2/2exp(-y^2/2)dy
=∫∞～－∞dx∞～－∞ exp{(-(x^2+y^2)/2}dy
としてから極座標（r　θ）に変換するとできます。

回答No.2

noname#42933

たぶんそうだと思います！！
その計算過程も教えていただきたいのですが…

補足

私の学力不足で恐縮なのですが、極座標変換後の解説もお願いしたいのですが…

回答No.1

imoriimori

∫∞～－∞(x^2/2)dx だと発散しますが。
被積分関数はexp(-x^2/2)じゃないですか？この場合は積分値は２の平方根ではなく２πの平方根となります。