正規分布の平均対数尤度を求めるには

質問

連続分布g(x)，f(x)は，平均0，分散1の正規分布Ｎ(0,1)とする．
g(x)からn個のデータｘnを生成する．
このとき，平均対数尤度は，
∫g(x)logf(x)dx　=　-1/2*log(2π)-1/2
となる．

以下のように自分で計算しましたがここからどうすれば上記のようになるのか分かりません．このあとどうすればいいのでしょうか？

g(x)=1/√2π・exp(-x^2/2)
f(x)=1/√2π・exp(-x^2/2)
なので，
　∫g(x)logf(x)dx
=　1/√2π∫exp(-x^2/2){-x^2/2　-　1/2log2π}dx
=　1/√2π{-x*exp(-x^2/2)*(-x^2/2　-　1/2log2π)　+　(-x)*exp(-x^2/2)}　+　C
Cは積分定数

回答No.1

apollonius · ベストアンサー

>Cは積分定数

対数尤度を求める式は不定積分ではないので、積分定数は必要ありませ
ん。積分範囲は-∞～∞までです。

>∫g(x)logf(x)dx
>=　1/√2π∫exp(-x^2/2){-x^2/2　-　1/2log2π}dx

上式において、

　∫[-∞,∞]x^2*exp(-x^2/2)dx=√(2π)
　∫[-∞,∞]exp(-x^2/2)dx=√(2π)
　（[ ]内は積分範囲を表わす。）

という公式を使えば、導くことができると思います。

参考URL：

http://takashiyoshino.random-walk.org/memo/keikaku2/node5.html

お礼

そういう公式があるんですね．
勉強になりました．ありがとうございました．