正規分布について教えてくだしさい。

質問

正規分布について教えてくだしさい。
以下、問題です。お手数をお掛け致します。

PX(x)=(1/√(2π))e^(-x^2/2)として、以下の問いに答えなさい。

(1)Y=X^2の分布関数FY(y)を示せ
(2)Y=|X|の分布関数FY(y)を示せ

一応考えてはみたのですが…

(1)FY(y)=p(Y<=y)=p(X^2<=y)=p(X<=|√(y)|)=FX(|√(y)|)
与式より、FX(x)=∫[-∞ ∞](1/√(2π))e^(-x^2/2)dx
に代入して、FX(|√(y)|)=∫[-∞ ∞](1/√(2π))e^(-(|√(y)|)^2/2)・1/(2x)dy
=∫[-∞ ∞](1/√(2π))e^(-y/2)・1/(2x)dy

(2)FY(y)=p(Y<=y)=p(|X|<=y)=p(X<=y)-p(X<=-y)=FX(y)-FX(-y)
与式より、FX(x)=∫[-∞ ∞](1/√(2π))e^(-x^2/2)dx
に代入して、{∫[-∞ ∞](1/√(2π))e^(-y^2/2)dy}-{-∫[-∞ ∞](1/√(2π))e^(-(-y)^2/2)dy}
=2∫[-∞ ∞](1/√(2π))e^(-y^2/2)dy

で如何でしょうか？自分では成否の判断が上手くできません。
よろしくお願いいたします。

回答No.2

aquatarku5 · ベストアンサー

FX(x)=∫[-∞～x](1/√(2π))e^(-x^2/2)dx　ですね。

(1)
FY(y)
=p(Y<=y)
=p(x^2<=y)
=p(-√y<=x<=√y)
=FX(√y)-FX(-√y)
　　dFX(√y)=PX(√y)・(dx/dy)・dy=PX(√y)/2x・dy=PX(√y)/2√y・dy
　　dFX(-√y)=PX(-√y)・(dx/dy)・dy=PX(-√y)/(-2x)・dy=-PX(√y)/2√y・dy
　　なので、
=∫[-∞～y]PX(√y)/√y・dy
=∫[0～y]{1/√(2π)・e^(-y/2)/√y}dy

(2)
FY(y)
=p(Y<=y)
=p(|x|<=y)
=p(-y<=x<=+y)
=FX(y)-FX(-y)
=2∫[0～y](1/√(2π))e^(-y^2/2)dy

補足

先ずは丁寧な回答、有難うございます。
aquatarku5さんの回答と
http://www1.parkcity.ne.jp/yone/math/mathB03_09.htm
のガンマ分布？を参考にして、

(1)FY(y)の確率密度関数、PY(y)が1/√(2π)・e^(-y/2)/√yである事までは理解できました。
ただ、FY(y)の積分範囲が[-∞～y]から[0～y]になる部分がいまいち分らないのです…

(2)の積分範囲[0～y]も同様にわかりにくいのですが、これは0を基準にして絶対値の場合分けがされるからですか？

お手数をお掛けいたします。

回答No.3

aquatarku5

ご指摘の箇所、導出がちょっと雑だったかもしれません（；^ω^）

(1)
FY(y)=・・・=FX(√y)-FX(-√y)　のところで、-√y<=x<=√yよりy>=0であることから、
={FX(0)+(FX(√y)-FX(0))}-{FX(0)+(FX(-√y)-FX(0))}
=∫[0～y]PX(√y)/2√y・dy - ∫[0～y](-PX(√y)/2√y)・dy
=∫[0～y]PX(√y)/√y}dy ←No2で、積分範囲-∞～yは0～yに訂正します。
=∫[0～y]{1/√(2π)・e^(-y/2)/√y}dy　（但し、y>=0)

※カイ二乗分布ですね。

(2)
FY(y)=・・・=FX(y)-FX(-y)　のところで、-y<=x<=yよりy>=0であることから、
={FX(0)+(FX(y)-FX(0))}-{FX(0)+(FX(-y)-FX(0))}
=∫[0～y]PX(y)dy - ∫[0～y](-PX(y))・dy
=∫[0～y]2PX(y)dy
=2∫[0～y](1/√(2π))e^(-y^2/2)dy　（但し、y>=0)

お礼

理解できました。ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

積分範囲が -∞～∞ になっているのは絶対におかしいと思う.

お礼

ご指摘、有難うございます。

分らない問題で煮詰まってくると、基本的なところに目が行きません…orz