スチューデントのt検定量に関する質問です。

質問

質問を一言で言うと
「なぜ、共分散が０になれば独立になるのでしょうか？」です。

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スチューデントのt検定量が、説明変数がｋ個の場合、自由度kのt分布に従うということを証明しようとしています。

すなわち、
t=Z/SQRT(Y/k)
が自由度kのt分布に従うことを示したいわけですが、そのためには、
(a)Zは標準正規分布に従う
(b)Yは自由度kのχ^2分布に従う
(c)ZとYは独立である。

この3つを証明しなくてはならないと書いていました。
(a),(b)に関しては理解できたのですが、(c)に関しては、色々な参考書をあたってみたものの、ZとYの共分散が０になるという旨の記述しか見つけることが出来ませんでした。

Zが正規分布であれば、共分散が0であれば、それは独立になるみたいな事を聴いたことがあるような気がするのですが、、、それがなぜなのかわかりません。

なぜ、共分散が０になれば独立になるのでしょうか？

もしお分かりの方がいらっしゃいましたら、ご教示いただけませんでしょうか。宜しくお願いいたします。

回答No.4

a_priori · ベストアンサー

#2です。

手持ちの本では、正規変量で「Cov(X,Y)=0ならばX,Yは独立」を証明しているものが見つかりませんでした。

簡単に確認する方法としては、X,Yの結合確率密度（2変量正規分布）の式で、相関係数ρ=0としてf(x,y) = f(x)f(y)を導く方法があります。
（Cov(X,Y) = 0 ⇔ ρ = Cov(X,Y)/(σx・σy) = 0 を使う）

２変量正規分布の式自体は、回帰分析などを扱ってる本なら大抵載っているはずです。
（例えば、ホーエル「入門数理統計学」(培風館)、国沢「確率統計演習１」(培風館)など）

お礼

a_priori様
大変丁寧にお答えして頂きまして、誠に有難うございます。
早速、2編量正規分布の式をもとに証明にチャレンジしたところ、出来ました。

懇切丁寧に教えていただきまして、本当に有難うございます。
とても参考になりました。

回答No.3

kuma1945

＃1です。
すみません＃2さんのおっしゃるとおりですね。。。すみません

独立⇒共分散ゼロ　　は成立するのですが
逆は必ずしも成立しないのを忘れてました。　すみませんでした。

お礼

お答え、有難うございます。
独立ならば共分散ゼロが成立するということだけでも勉強になりました。

回答No.2

a_priori

「Cov(x,y)=0ならばX,Yは独立」という命題は、一般には成り立ちません！
ただし、X,Yがともに正規分布に従う場合には、この命題が成立します。

ただ、ご質問の(c)の証明をする際に、「Cov(x,y)=0ならばX,Yは独立」という正規変量の性質を使うのでしょうか…？
私が知っている証明は、Cochranの定理なる定理を使うか、直接ZとYの結合確率密度を書き下して独立性の定義を満たすことを確認するか、の２つで、共分散が出てくる方法は、浅学にして知りません。

本に記載があったのであれば、どのような参考書に載っていたか、教えていただけないでしょうか？
ちなみに、上の２つの証明は、培風館「確率統計演習２」に載っています。

補足

お答え、有難うございます。
早速「確率統計演習２」を眺めてみました。

私の参考にした本は、
計量経済学 (у21) (単行本) 浅野 皙 (著), 中村 二朗 (著)
という本です。

もし宜しければ、なぜ、X,Yがともに正規分布に従う場合にこの命題が成立するのかについて記述されている本などをご存知ありませんでしょうか？自力で何とかしようとしたのですが、つまってしまっています。

回答No.1

kuma1945

確率変数ZとYの共分散がゼロである時にZとYが独立である事の説明です。共分散は定義より

Cov[Z,Y]=E[(Z-E[Z])(Y-E[Y])]
=E[ZY]-E[Z]E[Y]
と表せますので共分散がゼロであると言う事は

E[XY]=E[X]E[Y]であると言えます。

また二つの確率変数が独立である時には独立の定義よりZとYの同時密度関数がそれぞれの周辺確率密度関数の積で表せ,

f(Z=z,Y=y)=f(Z=z)f(Y=y)
と表せます。よって二つの確率変数の積の期待値E[ZY]は

E[ZY]=\int\int zy f(z) f(y)dx dy=E[X][Y]
と表せます。(\int は不定積分を意味します。)

よって共分散がゼロであれば二つの確率変数は独立であると示せます。