モーメント推定量

質問

統計の問題がわかりません。

問題
標準正規分布に従う確率変数X,Y,Z,U,Vについて

Y=aX+bU
X=cZ+dV

が成り立ち、E[XU]=E[ZV]=E[ZU]=0
とする。a,b,c,dは正の定数とする。

１）（X、Y、Z）の定める分布からのn個の無作為標本（x１、y１、z１）、…、（xn,yn,zn）が得られたとき、a,b,c,dのモーメント推定量を求めよ。
２）（U,X）の同時分布も正規分布であるとき、UとXが独立であることを示せ。

１）はr次モーメントとr次標本モーメントをもとめて解くのかと思いつつ立式できません。。。
２）も何を示せばいいのかわかりません。。。

考え方を教えてください。

回答No.1

noname#227064 · ベストアンサー

> １）（X、Y、Z）の定める分布からのn個の無作為標本（x１、y１、z１）、…、（xn,yn,zn）が得られたとき、a,b,c,dのモーメント推定量を求めよ。

モーメント推定量が良くわかっていないので間違っているかもしれませんが…
E[XU] = E[X(Y - aX)/b]
= E[XY]/b - aE[X^2]/b = 0
から
a = E[XY]/E[X^2]
となるので、(Σxiyi)/(Σxi^2)がaの推定量となる。
また、Y=aX+bUでX,Y,Uが標準正規分布に従うことから、
E[Y^2] = E[(aX + bU)^2]
= a^2 E[X^2] + 2ab E[XU] + b^2 E[U^2]
= a^2 + b^2 = 1
となり、b > 0であることから√{1 - (Σxiyi)^2/(Σxi^2)^2}がbの推定量となる。
c, dも同様。

> ２）（U,X）の同時分布も正規分布であるとき、UとXが独立であることを示せ。

「（U,X）の同時分布も正規分布であるとき」というのは、二変量正規分布であるということでしょうか？
そうであるなら、XとUの共分散が
Cov(X, U) = E[XU] - E[X]E[U] = 0
となり、XとUの同時密度関数をXとUの周辺確率関数の積で表せることから独立であることを示せます。

お礼

わかりました！
ありがとうございます！