ｔ検定について

質問

A)　サンプル数　300 　平均22.5 　標準偏差4.00
B)　サンプル数 1400　 平均23.0　 標準偏差5.90
のｔ 検定を」というご質問が出されていました。
私も興味ををもって解いてみましたが、ｂｅｓｔ　ａｎｓｗｅｒ　に選ばれた回答も出されておりましたが、ヒントであって、解は出ていませんでした。
次のようなことでいいのでしょうか。ぜひともお教えいただきたいので、よろしくお願いいたします。

この問題は仮説検定のうち、２つのサンプルの平均値に差があるかどうかを検定する問題だと思いました。
帰無仮説は　２つのサンプルの平均値には差がない」とします。
両群の平均的な分散は　
　（（３００－１）＊４＾２＊（１４００－１）＊５．９＾２）／（３００＋１４００－２）＝３１．５０
このとき検定統計量は
ｔ＝０．５／√（３１．５（１／３００－１／１４００））＝１．４０
この問題では自由度が１６９８となり、分布表からは正確な数が出ませんが、正規分布になるときの数とから、有意水準５％なら　１．９７７９～１．９６００　の間にありそうですので、検定統計量のほうが小さいと判断できると思いました。
よって「帰無仮説を棄却するすることはない。」と結論しました。

このようなことでいいのでしょうか。特に自由度が１６９８で分布表から具体的な数がきっちり求められないので、他のやりかたでなければならないのでは？と不安を感じているのですが。

回答No.3

Executione · ベストアンサー

その式は、2標本の母分散が同じ場合で、平均値に差があるかを調べる式です。
ご質問にあるA)とB)の標本は、同じ母集団に属しているかを調べる必要があります。
ここで、等分散検定を行い、2標本の母分散に違いがあるかどうかを検定します。
この結果により、同じ場合と異なる場合で、求める式が違ってきます。
（質問者さんの示した回答は、母分散が同じという場合です。）

F検定：2標本の不偏分散の比をとり、F分布を調べます。

帰無仮説H0：母分散に差がない。σ1＝σ2
対立仮説H1：母分散に差がある。 σ1≠σ2

F={n・S2^2/(n-1)}/{m・S1^2/(m-1)}
注)S2>S1なのでS2が分子、S1を分母とします。S1>S2の場合は、分母分子が逆です。

データー数が多いので、近似式で表しますと、
F≒S2^2/S1^2
=5.9^2/4^2
≒2.18

ここで、F分布の表より、自由度が大きすぎてないので、およそ、F(ε/2)=1.74～1.48程度とします。
有意水準5%では、F(ε/2)＜F　なので、P＜0.05　となり、帰無仮説は棄却します。

したがって、母分散が異なる場合の平均値の差を検定することになります。

統計量ｔ＝｜x1-x2｜/√(s1^2/ｍ＋s2^2/n)

自由度ν=(sa+sb)^2/(sa^2/m＋sb^2/n)
ただし、
sa=s1^2/m
sb=s2^2/n
※この問題では、自由度が大きいので、厳密に計算しなくても同じ結果が得られます。

以下省略。

補足

単純に母分散は同じものだとして計算をしてしまいましたが、実際には母分散に差があるかどうかを吟味することから始めなければならないということなのですね。ありがとうございました。
自由度が大きいということに理由なく不安を感じていたのですが、それも無関係だということで、安心をいたしました。ありがとうございました。

回答No.2

Executione

どうも合わないのですが、等分散の検定は、どうなりましたか？

補足

ご解答ありがとうございます。
計算は等分散の検定統計量の式

Ｔ＝｜ｘ１ーｘ２｜／√（ｓ＾２／ｍ＋ｓ＾２／ｎ）
ただし，　ｓ＾２＝（（ｍ－１）ｓ１＾２＋（ｎ－１）ｓ２＾２）／（ｍ＋ｎ－２）

に代入したつもりなのですが。
公式の使い間違いか、計算間違いか、のいずれかでしょうか？

回答No.1

okormazd

計算は合っているでしょう。

「このようなことでいいのでしょうか。特に自由度が１６９８で分布表から具体的な数がきっちり求められないので、他のやりかたでなければならないのでは」

ということですが、自由度が大きくなれば、t分布は正規分布に近づくので、正規分布表から求めていいのです。
自由度がどれほど大きければ正規分布を使うかは、求めたい条件によって変わるでしょうが、数百程度以上なら、正規分布でもいいでしょう。
質問の場合、自由度１６９８のt分布の上側2.5%点は、1.961362012で、正規分布の上側2.5%点は、1.959963985で、
たいていの場合はこんなの1.96にしてしまうので、変わりありません。

これは、Excelで求めたものです。「他のやり方」とすれば、Excelなどの統計処理ソフトを使うことになりますね。

お礼

わざわざご検討のうえ、ご回答いただきありがとうございました。
認めていただけて、多少自信がついたょうな気がいたします。
ありがとうございました。