証明問題２

質問

[問]
lim_{x→＋∞} ｆ'(ｘ)＝α のとき、lim_{x→＋∞} {ｆ(ｘ＋１)－ｆ(ｘ)}＝α　を証明せよ。

これは、　ｆ(ｘ＋１)－ｆ(ｘ)　に、平均値の定理を利用する。

という、ヒントをもらったはいいのですが…、結局分かりませんでした。

よろしくお願いします。

回答No.1

joggingman

こんにちわ

もろもろの条件はみたされているとして（実数区間とか、連続とか、微分可能とか）

平均値の定理をそのまま使うと
f'(c)={f(x+1)-f(x)}/{(x+1)-x}
をみたす、ｃ（x<c<x+1)が存在する。

f'(c)=f(x+1)-f(x)なので、
lim {f(x+1)-f(x)}=lim f'(c)
で、
x→+∞のとき、c→+∞なので、題意が示されます。