微分積分の証明問題です。（再掲）
こちらで質問させていただいた微分積分の証明問題ですが、
みなさんのアドバイスを参考に、自分なりに再度、解いてみました。
これで正しい証明になっているか、ご指導おねがいします。
【問題】
各自然数に対して、an=(n!/n^n)とおく。このとき、次の問に答えよ。
(1) 0 < an <= (1/n) (n=1,2,3,…)を示せ。
(2) 数列{an}の極限値を求めよ。
【(1)の回答】
n=1のとき、an=1, n=2のとき、an=(1/2), n=3のとき、an=(2/3)が成り立つ。
次に、n=kのときに成り立つと仮定する。即ち、
ak = k!/k^k <= (1/k)とする。
n=k+1のとき
a(a+1) = ((k+1)!/(k+1)^(k+1)) = (k!/ (k+1)^k) < (k!/k^k) < (1/k)
よって、k+1のときにも成り立つ。
以上から、数学的帰納法により、任意の自然数nについて
命題が成立することが示せる。
【(2)の回答】
はさみうちの原理により、
0 < lim{n→∞} an < lim{n→∞} (1/n) →0
∴lim{n→∞} an = 0
以上、よろしくお願いします。
