ロピタルの定理の証明について（ｆ→∞、ｇ→∞の場合）

質問

ロピタルの定理の証明で分からない所があります。
よろしくお願いします。

http://www.cec.yamanashi.ac.jp/~sato/lecture/lhospital/lhospital.html

リンク先のロピタルの定理の証明の
(ⅱ)ｆ(x)→±∞、g(x)→±∞、かつｇ'(x)≠0の時
の証明で

このページでは
α＝lim[x→a]f/gが0の時とそうでない時で場合分けをしていますが、

私はαが±∞の時も場合分けする必要があると思うのですが、
どうでしょうか？
(なぜなら　lim[x→a]x/(x-a)＝lim[x→a]2x/(x-a)^2
などでは両辺を1/(x-a)で割ることができないので。)

自分でもαが±∞の時にどうすればいいか考えたのですが、
分かりませんでした。
どなたか教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

koko_u_

リンク先の定理ですが、定理の言明そのものが、「極限の存在性」についてあやふやですね。

本来であれば、lim f'(x)/g'(x) が存在すれば lim f(x)/g(x) も存在して、その値は等しい。
lim f'(x)/g'(x) が＋∞に「発散すれば」lim f(x)/g(x) も ＋∞に発散。(－∞も同様)

と記述する必要があると思います。

お礼

御解答どうもありがとうございます。

やはりこれは正確な証明ではないのでしょうか・・・。
本によってはεを使っての証明もあるみたいなのですが、これがとても難しくて・・・。
とりあえずこちらの分かり易い証明を理解してから、εを使った証明を考えようかと思っておりました。

頼みの解析概論にもロピタルの定理が載ってないみたいで苦戦してます。

リンク先の方法で何とか

ｘ→aでｆ(x)→＋∞、g(x)→＋∞、かつｇ'(x)≠0で
α＝lim[x→a]f/g＝＋∞　の場合も
lim[x→a]f/g＝lim[x→a]f'/g'

を示すことはできないでしょうか？

(lim[x→a]f/g＝＋∞
lim[x→a]f'/g'＝＋∞
の時
lim[x→a]f/g＝lim[x→a]f'/g'
としてよいかもちょっとわからないのですが・・・。）