指数方程式の解法について。

質問

どなたかご教授願います。
(Ａ・ｔ+B)ｔ・exp^(C・t) = D
をｔについて解くような問題なのですが、
どなたか教えていただけませんでしょうか。
Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄは全て定数です。

宜しくお願いいたします。

回答No.2

inara · ベストアンサー

質問の方程式の解は２つあって
　　　t = 2*f[ 1/2*√{ ( C^2*D )/( A*B ) } ]/C　　 [ 0≦ ( C^2*D )/( A*B ) の場合 ]
　　　t = 2*f[ 1/2*√{ -( C^2*D )/( A*B ) } ]/C　　[ ( C^2*D )/( A*B ) ≦0 の場合 ]
となります。

f( ) は LambertのW関数で、y*exp(y) = x を満たすような関数 y = f(x) のことです（初等関数では表わせません）。y*exp(y) の形が入っている方程式で y を求めるような場合、このLambertのW関数が出てきます。

f (x) の定義域は -1/e < x で（ e はネピア数）、f(0) = 0 の単調増加関数です[1]。過去の質問で、解にLambertのW関数を含むものがいくつかあります[2] [3] が、その中にLambertのW関数をExcel VBAで計算するマクロが出ています[2]。これを使えば、Excelのセル中に、=LambertW( ) と書き込むことで、普通の関数のように計算できます。

【ExcelVBAを使ってLambertW関数を計算する方法】
Excelの「ツール→マクロ→Visual Basic Editor→挿入→標準モジュール」で出た空白のコード画面に下のプログラムを貼り付け、Excelシートに戻って、あるセルに　=LambertW( ここに引数を書く)　と書けば計算できます。

↓ここから
Function LambertW(x As Double) As Variant
If x < -Exp(-1) Then
LambertW = ""
Exit Function
Else
If x = 0 Then
LambertW = 0
Exit Function
End If
End If
Dim W As Double, W1 As Double, eps As Double, ew As Double
eps = 10 ^ (-15)
W = 1
While Abs((W - W1) / W) > eps
W1 = W
ew = Exp(W)
W = W - (W * ew - x) / (ew * (W + 1) - (W + 2) * (W * ew - x) / (W + 1) / 2)
Wend
LambertW = W1
End Function
↑ここまで

[1]　LambertのW関数　http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AEW%E9%96%A2%E6%95%B0
[2]　ｌｎの方程式 Ａ＝ｘｌｏｇｅ（ｘ）＋ｘＢ の解は　http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2726817.html
[3]　ｘ＝log{100(１＋ｘ)} の解　http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2993718.html

お礼

わかりやすい解説、ありがとうございます。
やはり、手計算では、無理ですね。
LambertのW関数・・・学生の時にあったなあ・・・という感じです。
もう少し、勉強してみます。

回答No.4

noname#101087

#1 です。

確かに、解が一意的でない場合もあります。
定数｛Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ｝次第なようで、面倒そうです。
　　A,B,C,D = 1
の場合は、たまたま一個らしい。

回答No.3

inara

ANo.2 です。
ANo.2の解は間違っていました。ANo.2 は　(Ａ・ｔ・B)ｔ・exp^(C・t) = D の解でした。

(Ａ・ｔ+B)ｔ・exp^(C・t) = D は、数式処理ソフト（Maple）では解けませんでしたが、
途中の t がない場合
　　(Ａ・ｔ+B)・exp^(C・t) = D
や、A B の一方がゼロの場合
　 (Ａ・ｔ)ｔ・exp^(C・t) = D
　 (B・ｔ)exp^(C・t) = D
なら解けます。

回答No.1

noname#101087

>(Ａ・ｔ+B)ｔ・exp^(C・t) = D をｔについて解くような問題 ....

逐次解法ではいかが ?
たとえば
　　f(t) = A*t^2 +B*t - D*exp(-C*t)
　　f'(t) = 2A*t + B + D*C*exp(-C*t)
として、f(t) の零点に Newton-逐次接近させます。

　　A,B,C,D = 1
の場合を試してみると、
　　t0 = 1
からスタートして 5回目でほぼ収束。

お礼

早々のご返答、ありがとうございました。