指数関数の方程式の解き方(訂正）

質問

a,b,c,d,r,s,tは定数,eはexp、xは変数
r>0,s>0,t>0,d>0,r≠s≠t,a≠0,b≠0,c≠0。

上記の条件の時、
ae^(-x/r) + be^(-x/s) + ce^(-x/t) = d の式で
xの解を求めたいのですが、解けません。

解き方分かる方いらっしゃいますでしょうか？
宜しくお願いします

回答No.3

grothendieck

数値的に解く場合、ｄを与えるごとにｘをニュートン法で求めるという方法も考えられますが、
　dx/dy = 1/(dy/dx)
= -1/((a/r)e^(-x/r)+(b/s)e^(-x/s)+(c/t)e^(-x/t)))
をルンゲ・クッタ法などで解く方が変化を逐次追っている感じで良いような気がします。ただし、問題のｄをｙで書き換えています。なお、下の式を２次まで書くと、
　f(y)= -(y-a-b-c)/(a/r + b/s + c/t)
　+(1/2)(y-a-b-c)^2(a/r^2 + b/s^2 + c/t^2)/(a/r + b/s + c/t)^3 +…
となります。

お礼

ありがとうございました。参考になりました。

回答No.2

grothendieck

都合上
　ae^(-x/r) + be^(-x/s) + ce^(-x/t) = ｙ
と書いてxをｙの近似的な関数として表したいとします。このとき
　ｘ = f(ｙ)
とすれば、
　dｆ/dｙ = 1/(dy/dx)
　d^2ｆ/dｙ^2 = -d^2y/dx^2/(dy/dx)^3
などによりｆの導関数を求めることができます。x=0のときy=a+b+cなので
　f(y)= f(a+b+c) + (y-a-b-c)f'(a+b+c) + ((y-a-b-c)^2/2)f"(a+b+c) +…
　= -(y-a-b-c)/(a/r + b/s + c/t) +…
のようにして求めることができるでしょう。

お礼

ありがとうごさいました。近似的に求めるのがよいというのが分かりました。

回答No.1

mmky

参考程度に
変数ｘは１つなんですが非線形の方程式なので美しい解はないですね。ｘに条件を与えて近似的に解くしか方法はないと思います。
例えば、二次の近似であれば、x>0、で
e^(-x/r)＝1+(-x/r)+(-x/r)^2/2
のようにして近似して二次方程式を作くりそれを解くという方法などですね。

お礼

ありがとうございました。大変参考になりました。