極値を求める方法２

質問

先ほど極値の求め方を質問したものです。

先ほど、教えられたとおりに別の問題をやってみたのですが・・・・、

8x^2+2xy+y^2-4x+3y-2　・・・(1)

の極値を求める。
とりあえず微分して、
16x+2xyy'+2y+2yy'-4-3y'　・・・(2)
これを整理して
(2x+2y-3)y'=4-16x-2y　・・・(3)
よって、
y'=(4-16x-2y)/(2x+2y-3)　・・・(4)
y'=0として
4-16x-2y=0　・・・(5)
x=(2-y)/8　・・・(6)
これを(1)に代入すればいいと思ったのですが、
⇔(2-y)^2/8+(2-y)y/4+y^2-(2-y)/4+3y-2=0
⇔{4-4y+y^2+4y-2y^2+8y-4+2y+3y}/8=2
⇔4-4y+y^2+4y-2y^2+8y-4+2y+3y=16

これを整理すると・・・・・

⇔y^2-13y+16=0

・・・・
え！？これでいいんですか？ここから
どうやって極値を求めるのでしょうか？

回答No.3

kony0

ちなみに、前の問題も見てみましたけど、
前の問題は、x-yの関係式におけるyの極値を求める問題なのに対して、
今回の問題は、(x,y)→Rのように変数が２つある場合ですよね？

前問はグラフが平面ですが、今回のグラフは3次元の形状をなすと思います。

なにか前問と本問を混同されているような気がしますが・・・大丈夫でしょうか？

回答No.2

kony0

f(x,y)=8x^2+2xy+y^2-4x+3y-2とおいて、xおよびyでそれぞれ偏微分します。
∂f/∂x=16x+2y-4
∂f/∂y=2x+2y+3
これらがともに0であるとすると、(x,y)=(1/2,-2)
なお、(∂^2)f/∂(x^2)=16>0, (∂^2)f/∂(y^2)=2>0より、凸関数であるため
(x,y)=(1/2,-2)で極小値（＝最小値）をとります。
ちなみに、凸関数とは、いわゆる「下に凸」を指します。英語ではconvex。「上に凸」は凹関数(concave)と言います。

また、高校生的解法だと、
f(x,y)=y^2+(2x+3)y+(8x^2-4x-2)={y+(2x+3)/2}^2-(2x+3)^2/4+(8x^2-4x-2)
=(1/4)(2y+2x+3)^2+(7x^2-7x-17/4)=(1/4)(2y+2x+3)^2+7(x-1/2)^2-6
から、2y+2x+3=0かつx=1/2のとき最小値-6をとることがわかります。

回答No.1

Mell-Lily

8x^2+2xy+y^2-4x+3y-2=0 … (1)
両辺をxで微分すれば、
　16x+2y+2xy'+2yy'-4+3y'=0.
y'=0とすれば、
　16x+2y-4=0
　∴ x=(2-y)/8.
これを(1)に代入すれば、
　8{(2-y)/8}^2+2{(2-y)/8}y+y^2-4{(2-y)/8}+3y-2=0
　∴ (2-y)^2/8+(2-y)y/4+y^2-(2-y)/2+3y-2=0
　∴ (2-y)^2+2(2-y)y+8y^2-4(2-y)+24y-16=0
　∴ 7y^2+28y-20=0
　∴ y={-14±√(14^2+140)}/7=-2±√336/7=-2±4√21/7. … (Ans.)

下から三番目の数式中の、-(2-y)/4は、-(2-y)/2の間違いです。

これを(1)に代入すればいいと思ったのですが、
⇔(2-y)^2/8+(2-y)y/4+y^2-(2-y)/4+3y-2=0

　↓

これを(1)に代入すればいいと思ったのですが、
⇔(2-y)^2/8+(2-y)y/4+y^2-(2-y)/2+3y-2=0

最後は、二次方程式の解の公式で解けばよいと思います。