極値を求めよ

質問

次の問題がわからないのでお教えください。
１)ｘｙ＋１/ｘ+８/ｙの極値を求めよ。
この問題はまず、ｆｘ(ｘ，ｙ)＝ｆｙ(ｘ，ｙ)＝０の時の停留点を求めるのですが。その計算(中学生の連立方程式)がわかりません。あと、参考書に書いてあったｘ≠０の意味がわかりません。なぜ、ｘはゼロになったらだめなのですか。また、問題によってはｘがゼロの問題もありました。そこら辺はどうなのでしょうか。
前者の質問は、
ｆｘ＝ｙ－１/ｘ＾２　，ｆｙ＝ｘ－８/ｙ＾２
で、ｙ＝１/ｘ＾２　，　ｘ＝８/ｙ＾２となってしまいます・・・

回答No.1

joggingman · ベストアンサー

f(x,y)=xy +1/x +8/y　とおきますと、
fx=y -1/x^2=0
fy=x -8/y^2=0

y=1/x^2　を２番目の式に代入すると、
x=8/(1/x^2)^2=8x^4
8x^4-x=0
x(8x^3-1)=0
x(2x-1)(4x^2+2x+1)=0
x=0,1/2
x=0で、f(x,y)は発散だから、x≠0、同じくy≠0
(x,y)=(1/2,4)のとき、極小値６

回答No.2

Meowth

ｘｙ＋１/ｘ+８/ｙ
に１/xがあるからｘ＝０はまずいでしょ
、ｙ＝１/ｘ＾２　，　ｘ＝８/ｙ＾２
x^2y=1 xy^2=8
割り算すれば
y/x=8 y=8x
8x^3=1 で
x=1/2 y=4