min{|x|+2|y|+|z|∈R;x+y-z≦10,x-3y+2z=12}の値は

質問

Rを実数体とします。
min{|x|+2|y|+|z|∈R;x+y-z≦10,x-3y+2z=12}
の値を求めたいのですがどうやって求めれるのでしょうか?

min{|12+3y-2z|+2|y|+|z|∈R;4y-3z≦-2}
と変形してみたりしたのですが…

回答No.1

endlessriver

f(y,z)=|g(y,z)|+2|y|+|z|
(1)g(y,z)=12+3y-2z
(2)4y-3z≦-2

(1)=0と(2)の等号の直線によりfの値を考慮する領域を調べる。この２直線は(y,z)=(-32,-42)が交点P。

1)g(y,z)≧0の場合、条件を満たすのは交点Pから右上の領域。
a)z≧0の場合
f=12+(3y+2|y|)-zからfはzの減少関数だから境界(1)に最小値はある。すなわちf≧6+(1.5y+2|y|)。y≧0ならf≧6+3.5yすなわち、y=0のときf=6で最小。
y≦0でもf≧6-0.5yすなわち、y=0のときf=6で最小。
b)z≦0の場合。(2)からy≦-1/2<0
f=12+(3y-2y)-3z=12+y-3z
このとき領域の形状からyを消すと場合分けが１回ですみます。y<0だから(1)の境界でfは最小になります。f=12+2z/3-4-3z=8-7z/3≧8(z=0のとき)
c)故にa),b)をまとめるとy=0,z=6でf=6が最小値。

2）g(y,z)≦0の場合、交点Pで折れ曲がった左上の領域になりますが同様に議論できるはず。