2x-8y+5z=6

質問

1≦z≦2
y+(1/2)≦z≦y+1
2x-8y+5z=6
が平行四辺形のグラフを表すらしいのですがどうして分かるのでしょうか？

回答No.3

spring135 · ベストアンサー

一般に方程式ax+by+cz=d(a,b,c,dは定数）は３次元空間(x,y,z)における平面を表します。

わからなければ教科書をよく読んでください。

1≦z≦2　　　　　　(1)
y+(1/2)≦z≦y+1　　(2)
2x-8y+5z=6　　　　(3)

(3)は３次元空間中の平面です。

(1)により平行な平面Z=1、z=2で平面(3)を切り取っています。端部は平行な２直線になっています。

(2)により平行な平面z=y+(1/2),z=y+1で面(3)を切り取っています。端部は平行な２直線になっています。

以上により平行な２直線２組を端部として有する平面ができて、これは平行四辺形です。

お礼

ありがとうございました

回答No.2

info22_

>平行四辺形のグラフ
グラフではなく、正確には菱形の図形の内部および辺を含む領域です。
「2x-8y+5z=6」はxy座標平面（z=0の平面）にもyz座標(x=0の平面）にもxz座標平面(y=0の平面)にも平行ではない平面です。これはお分かりでしょうか？
どの座標平面にも平行ではないですから、x軸、y軸、z軸との交点であるx切片は(3,0,0),y切片は(0,-3/4,0),z切片は(0,0,6/5)になります。各座標軸と1点で交わるということです。

つぎに、平面「2x-8y+5z=6」と領域「1≦z≦2」との関係を考えると、領域「1≦z≦2」はxy座標平面に平行な平面z=1および平面z=2で挟まれた領域です。この2平面「z=1とz=2」は平面「2x-8y+5z=6」と平行な交線で交わります。
平面z=1と平面「2x-8y+5z=6」の交線(媒介変数表現)は
　(x,y,z)=((1/2)+4t,t,1)
平面z=2と平面「2x-8y+5z=6」の交線(媒介変数表現)は
　(x,y,z)=(4t-2,t,2)
2本の交線の方向ベクトルはともに(4,1,0)なので交線は平行ということです。
この2本の平行な交線で平面「2x-8y+5z=6」は切り取られ、2本の交線の間の領域（交線を含む）が「2x-8y+5z=6(1≦z≦2)」…(A)の領域になります。

同様に
平面「2x-8y+5z=6」と領域「y+(1/2)≦z≦y+1」との関係を考えると、領域「y+(1/2)≦z≦y+1」は互いに平行な平面z=y+(1/2)および平面z=y+1で挟まれた領域です。この2平面「z=y+(1/2)とz=y+1」は平面「2x-8y+5z=6」と平行な交線で交わります。
平面z=y+(1/2)と平面「2x-8y+5z=6」の交線(媒介変数表現)は
　(x,y,z)=((7/4)+(3/2)t,t,(1/2)+t)
平面z=y+1と平面「2x-8y+5z=6」の交線(媒介変数表現)は
　(x,y,z)=((1/2)+(3/2)t,t,1+t)
2本の交線の方向ベクトルはともに(3/2,1,1)なので交線は平行ということです。

この2本の平行な交線で平面「2x-8y+5z=6」は切り取られ、2本の交線の間の領域（交線を含む）が「2x-8y+5z=6(y+(1/2)≦z≦y+1)」の領域…(B)になります。

(A),(B)の共通領域が
2対の平行な交線で切り取られる平行四辺形の内部および辺からなる領域「2x-8y+5z=6(1≦z≦2かつy+(1/2)≦z≦y+1)」になります。

平行四辺形領域EFGH（前の質問の回答での記号使用）の交点は、前の質問で回答済みで
平行四辺形の全ての辺がEF=FG=GH=EHの関係にあるのでこの平行四辺形は菱形ということになります。

お礼

ありがとうございました

回答No.1

Quattro99

1つ目は平行な面で挟まれた区間を表し、2つ目も平行な面で挟まれた区間を表し（ただし、1つ目とは平行ではない）、3つ目は前の2つとは平行ではない面を表しています。
つまり、3つ目の式で表される面を、平行な面で2度切りとっているので平行四辺形が残ります。

お礼

ありがとうございました