divで『Eｘ（x+Δ、y+Δ、z+Δ）-Ex（x+Δ、y、ｚ）』は無視できる？

質問

div(発散)の定義の途中過程についてです。

P(x、y、ｚ)の近くに各座標軸に沿った長さがΔx、Δy、Δzの微小直方体を考える。
その微小直方体のyz平面に平行な面をそれぞれA、Bとする。
（Aのx座標がx、Bのx座標が(x+Δx)）
E(Ex、Ey、Ez)とする。
∫(A+B)Exds＝{(Ex(x+Δx、y、z)－Ex(x、y、z))/Δx}ΔxΔyΔz
『ここでy、z座標の値も面内で変化しているが、それはΔy、Δzについ
高次の寄与しか与えない。』・・・※

この最後の1文についてなのですが、
私は〈微小直方体におけるExのy方向、z方向の変化量『Ex(x+Δx、y+Δy、z+Δz)－Ex(x+Δx、y、z)』は
x方向の変化量『Ex(x+Δx、y、z)－Ex(x、y、z)』に比べると無視できる〉つまり
『Ex(x+Δx、y、z)－Ex(x、y、z)>>Ex(x+Δx、y+Δy、z+Δz)－Ex(x+Δx、y、z)』と解釈しました。

そこで質問なのですが、
自分には『Ex(x+Δx、y、z)－Ex(x、y、z)>>Ex(x+Δx、y+Δy、z+Δz)－Ex(x+Δx、y、z)』はちっとも明らかには思えないのですが、
なぜこれが成り立つのでしょうか？
ここら辺の説明が詳しく載っている参考書がなくて困っています。
（どの参考書でも明らかとしてサラッと流されている。）

どなたかよろしくお願い致します。

以下参考HPです。
http://www.ese.yamanashi.ac.jp/~itoyo/lecture/denkigaku/denki01/denki01.htm#発散

回答No.5

noname#57316 · ベストアンサー

『ここでy、z座標の値も面内で変化しているが、それはΔy、Δzについて高次の寄与しか与えない。』

というのは言葉足らずで、
『ここでy、z座標の値も面内で変化しているが、平面A、B間におけるΔy、Δz、それぞれの変化
については、高次の寄与しか与えない。』ということだと思います。

式で表わせば、
{Ex(x+Δx、y+Δy、z)－Ex(x+Δx、y、z)}
-{Ex(x、y+Δy、z)－Ex(x、y、z)}
={∂Ex(x+Δx、y、z)/∂y}・Δy
-{∂Ex(x、y、z)/∂y}・Δy
={∂^2Ex(x、y、z)/∂x∂y}・ΔxΔy
（zについても同様）
となるからです。

因みに、
Ex(x+Δx、y、z)－Ex(x、y、z)
=∂Ex(x、y、z)/∂x}・Δx
であり、
Ex(x+Δx、y+Δy、z+Δz)－Ex(x+Δx、y、z)
={Ex(x+Δx、y+Δy、z+Δz)－Ex(x+Δx、y+Δy、z)}
+{Ex(x+Δx、y+Δy、z)-Ex(x+Δx、y、z)}
=∂Ex(x+Δx、y+Δy、z)/∂z}・Δz
+∂Ex(x+Δx、y、z)/∂y}・Δy
となるので、
Ex(x+Δx、y、z)－Ex(x、y、z)>>Ex(x+Δx、y+Δy、z+Δz)－Ex(x+Δx、y、z)
は言えそうにありません。

お礼

大変詳しい御回答どうもありがとうございます。

こうやって式で表して頂いてとてもスッキリと分かりました。

私の方でもいろいろ考えてみまして、
>『ここでy、z座標の値も面内で変化しているが、それはΔy、Δzについて高次の寄与しか与えない。』は

『例えば平面A内のおいてExはもちろん一定ではないけれど、
平面A内でのExの誤差ΔExは高々
ΔEx＝Ex(x、ｙ+Δy、ｚ+Δz)ーEx(ｘ、ｙ、ｚ)
＝∂Ex/∂yΔy＋∂Ex/∂zΔz
であり、これはEx(x、ｙ、ｚ)に比べて十分小さいので、
平面A上のExは一定値Ex(ｘ、ｙ、ｚ)として計算して問題ない。』

と解釈し直しました。

なんだかゴチャゴチャと複雑に考えすぎていたような気がします。
お蔭様で何とか自分なりに納得できる解釈ができました。

どうもありがとうございました。

回答No.6

phusike

>Ex(x+dx,y+dy,z+dz) - Ex(x,y,z) = ( dx + dy + dz )Ex(x,y,z)
はよいですよね。
……相当ボケてますね、自分。
よい訳ありません。

dEx = Ex(x+dx,y+dy,z+dz) - Ex(x,y,z) = ∇Ex(x,y,z)・(dx,dy,dz)
= (∂/∂x)Ex dx + (∂/∂y)Ex dy + (∂/∂y)Ex dz
です。
これが成立する理由は、
（つまり (∂/∂x)Ex dy 等の項が入ってこない理由）
多変数関数の平均値の定理でも参照されると良いと思います。
そして、この場合は dy = dz = 0 で考えているため、
（No.5にもあります通り、2面間の差を考えているわけです）
(∂/∂x)Ex dx の項だけが残るわけですね。

どうも失礼しました。

お礼

どうもわざわざご丁寧に訂正回答をありがとうございます。

お蔭様で何とか自分なりに解決できました。

この度はどうもありがとうございました。

回答No.4

eatern27

∫[y:y0→y0+Δy]f(y)dy＝f(y0)Δy +2次以上の微小量
f(x+Δx)-f(x)＝∂f/∂x Δx + 2次以上の微小量
と近似出来るのは分かりますか？　やっているのはこれと同じ事です。

A,Bが辺の長さΔy,Δzの長方形だとすると、
∫(A+B)Exds
＝∫[y→y+Δy]dy ∫[z→z+Δy]dz (Ex(x+Δx,y,z)-E_x (x,y,z))
＝∂E_x/∂x ΔxΔyΔz + 4次以上の微小量
となりますよね。

お礼

御回答どうもありがとうございます。

なるほど、1変数の積分に帰着させると分かりやすいですね。
どうもありがとうございます。

回答No.3

phusike

Ex(x+dx,y+dy,z+dz) - Ex(x,y,z) = ( dx + dy + dz )Ex(x,y,z)
はよいですよね。
これに dxdydz/dx = dydz を乗じるわけですから、
dy Ex(x,y,z), dz Ex(x,y,z) の項が二次の無限小となり、
積分する際には結局 dx Ex(x,y,z) の項しか効かないわけです。

ですから、
>『Ex(x+Δx、y、z)－Ex(x、y、z)>>Ex(x+Δx、y+Δy、z+Δz)－Ex(x+Δx、y、z)』
は成り立ちませんが、
積分の際に微小面積で積分しているので、
その面上の変化の寄与は無視できるというわけですね。

補足

>Ex(x+dx,y+dy,z+dz) - Ex(x,y,z) = ( dx + dy + dz )Ex(x,y,z)
はよいですよね。

勉強不足ですみません。
この式もちょっと始めてみたのですが・・・。

>これに dxdydz/dx = dydz を乗じるわけですから、

( dx + dy + dz )Ex(x,y,z)dydz
＝dxdydzEx(x,y,z)+dy^2dzEx(x,y,z)+dydz^2Ex(x,y,z)
ですよね？

dxdydzEx(x,y,z)もdy^2dzEx(x,y,z)同様に２次の無限小だと思うのですが、違うのでしょうか？

回答No.2

N64

ご質問の中にある式は、ちんぷんかんぷんで、私には理解できませんが、参考HPの式は、まちがっていないように、私には見えます。なにかの勘違いではないでしょうか。

補足

分かりづらい点を教えて頂ければ補足します。
Eはもちろん電場です。

参考HPはもちろん合っています。
その中で当たり前と解釈している所が理解できずに質問しました。

よろしくお願いします。

回答No.1

A-Tanaka

こんにちは。

疑問に思ったのですが・・・。
>ここでy、z座標の値も面内で変化しているが、それはΔy、Δzについ
高次の寄与しか与えない。

素直に解釈してみると、与式からすると、高次の寄与しか与えないよりは、低次の寄与しか与えないような気がしますが・・・。

なぜならば、ガウスの定理を素直に解釈すれば、微少体積に相当する空間に流れ込んだ量が、各ベクトル方向に動くという前提から始まります。このことによって、発散（div)は単位体積辺りのベクトルの増加量を表すということになります。

この流れをもう少し説明しておきますと、div演算子が先に生まれたのではなく、まずベクトル解析が生まれた。それを２次元から３次元に増やす時、３次元を平面で検討するのは難しいので、２次元投影できるようにした・・・そのための演算子が発散(div)だろうと思うのです。

よって、後の式にある符号は逆になりませんか？

では。

補足

御回答ありがとうございます。

>素直に解釈してみると、与式からすると、高次の寄与しか与えないよりは、低次の寄与しか与えないような気がしますが・・・。

確かに言われてみればその通りだと思い、教科書を確認してみましたら、やはり『高次の寄与しか与えない』と書いてありました。
これは高次（２次以上）の無限小の意味だと思います。
教科書は『電磁気学　中山正敏著　裳華房』です。

>よって、後の式にある符号は逆になりませんか？
この式とは『Ex(x+Δx、y、z)－Ex(x、y、z)>>Ex(x+Δx、y+Δy、z+Δz)－Ex(x+Δx、y、z)』のことでしょうか？

別の本（電磁気学　砂川）では『変数yとzに関して２次以上の無限小を無視している」と書いてあります。
多分は符号はこの向きだと私は思うのですが・・・。
逆になるという理由をもう少し詳しく説明していただければありがたいです。