ベクトル空間の命題の証明

質問

1.ｃ(u－ｖ)＝ｃｕ－ｃｖ
2．任意の実数ｃに対してｃ０＝０
3．(－ｃ)ｖ＝－ｃｖ，ｃ(－ｖ)＝－ｃｖ
上の命題について証明してみたのですが,あまり自信がないので,添削して下さい。よろしくお願いします。
以下証明
1.ｃｖ＋ｃ(ｕ－ｖ)＝ｃ{ｖ＋(ｕ－ｖ)}＝ｃｖ
　よってｃ(ｕ－ｖ)＝ｃｕ－ｃｖ
2.ｃ０＝ｃ(０ｖ)＝(ｃ０)ｖ＝０ｖ＝０
3.(－ｃ)ｖ＝(－ｃ１)ｖ＝－ｃ(１ｖ)＝－ｃｖ
　ｃ(－ｖ)＝{ｃ(－１)}ｖ＝(－ｃ)ｖ＝－ｃｖ

回答No.1

aquarius_hiro · ベストアンサー

ladyamatoさん、こんにちは。

Vをベクトル空間として、u,v∈V、０はゼロベクトルの意味で、０∈Vなのですよね。

まず、u-vの定義は、(u-v)+v=u となるようなものとして、1の証明はあっていると思います。

> 2.ｃ０＝ｃ(０ｖ)＝(ｃ０)ｖ＝０ｖ＝０

一番左の０がゼロベクトルで、０vの０が実数の０と解釈すれば正しいと思いますが、０=0v を示さなければ十分ではありません。

公理によれば、０はどんな x∈V に加えても、
　x+０ = ０+x = x … (1)
となるものなので、これにのっとって示さなければなりません。

別の公理より、(1)の各辺にcをかけ、c(x+０) = cx + c０、c(０+x) = c０ + cx が成立つことから、
　cx + c０ = c０ + cx = cx
が得られ、xが任意なので、cxはVのすべての元をとることができるから、０元の公理から、c０は０元になる。従って、c０=０ が成立つ。

・・・というふうに考えます。

> 3.(－ｃ)ｖ＝(－ｃ１)ｖ＝－ｃ(１ｖ)＝－ｃｖ

-c(1v)=-cv は、きちんとかくと、(-c)(1v)=-(cv)を主張していることになり、そもそもそれを証明しなければならない問題です。

-cvとは何かというと、公理より cv + (-cv) = ０ になるものです。

　0v = (c+(-c))v = cv + (-c)v

ですが、任意の v∈V について、v = (1+0)v = 1v + 0v = v + 0v なので、０元の公理より、0v = ０ （零元）になります。

故に、(-c)v は ０ = cv + (-c)v になるものであり、-(cv) の定義により、(-c)v = - (cv) が成立ちます。

> ｃ(－ｖ)＝{ｃ(－１)}ｖ＝(－ｃ)ｖ＝－ｃｖ　

最初の等号は、-v = (-1)v を使い、c(-v) = c((-1)v) = (c(-1))v より成立ちます。((cd)v = c(dv) という公理を使いました。）
最後の等号は上で示したものです。
従って、(-c)v=-cvが示せていれば、この行は良いと思います。

お礼

回答ありがとうございます。参考になりました。
-v=(-1)ｖは証明なしにつかってもいいのですか。

回答No.4

aquarius_hiro

ANo.1です。

> -v=(-1)ｖは証明なしにつかってもいいのですか。

とのことですが、これは公理ではありませんが、そのすぐ上で、

> 故に、(-c)v は ０ = cv + (-c)v になるものであり、-(cv) の定義により、(-c)v = - (cv) が成立ちます。

と示していますので、それでc=1とおくと、

(-1)v = - (1v) = -v

になるので、それを用いました。

一応、線形代数学の教科書をひっぱりだして、「ベクトル空間」の公理に基づいて説明してみました。

回答No.3

joggingman

１は、１行目の右辺がcuの書き間違いですね。

Ｏはベクトル、0はスカラー
v=(1)v=(1+0)v=1v+0v=v+0v　∴0v=Ｏ ←２の解答に必要
cv=c(v+Ｏ)=cv+cＯ　∴ｃＯ=Ｏ　←２
だから、
cv+(-c)v=(c-c)v=0v=Ｏ　∴(-c)v=-(cv)　：３の前半
v+v'=Ｏなるv'=-vを使うと
c(-v)+cv=cv'+cv=c(v'+v)=cＯ=Ｏ　∴c(-v)=-(cv)　：３の後半

c(u-v)=c(u+v')=cu+cv'=cu+c(-v)=cu-(cv)=cu-cv　：１

1u=u　は使えるけど、-u=(-1)u　などは、証明して使うようです。
スカラーの－１と、ベクトルの方向の－の意味を区別しておけば、
あまり気にする必要はないといえるのですが。

回答No.2

tarame

証明のために既知としてよい事柄は、どのようなものですか？
ｖ＋ｕ＝ｗ⇔ｖ＝ｗ－ｕ
0ｖ＝ｏ
m(nv)＝(mn)ｖ
(-1)ｖ＝－ｖ　　などはＯＫですか？