力学の問題です。

質問

半径ｒの摩擦のない滑らかな球面上に置かれた質量ｍの質点を考える。
球は固定されて動かないものとし、質点が球の頂上から接線方向に速さv0で
滑り落ちるものとする。

質点が鉛直方向から角度θだけ傾いた球面上にあるときの質点の速さｖを求めよ。

という問題なのですが、
摩擦が働かないからエネルギー保存より、
(1/2)mv0^2+mgr(1-cosθ)=(1/2)mv^2

で解いていいのでしょうか？

こんな初歩的なことも不安です。
分かる方教えてください。
宜しくお願いします。

回答No.3

Tann3 · ベストアンサー

No.1&2です。何度も、支離滅裂ですみません。

　この問題で、「半径ｒの球面」を「地球」であると考えると、また答は変わって来ますね。
　「地上に設置された半径ｒの球面」とでもする必要があるのでしょうね。

お礼

回答ありがとうございます。
No1,2,3さんのおっしゃる通りで、球面に沿って運動するためにv0に制約がつくのですが、それはこの設問の次以降でv0の制約と球面を沿って運動した場合θがいくつで球面を離れるかを求めます。

そこまで書いていなかったのに、回答ありがとうございます！
解決できましたので、大丈夫です！

回答No.2

Tann3

No.1です。誤解があるといけないので。

　No.1に書いたのは、「質点が球の表面にへばりついたまま滑り落ちるためには、v0に制約が課せられる」ということが言いたかったということです。
　その条件を書かないと、答としては片手落ちです。

　また、「質点が球の表面にへばりついたまま滑り落ちる」場合には、一種の「斜面を下り落ちる」のと同じで、水平方向にも加速度が働き、かつ角度θによってその大きさが変わりますので、「等速度」でも「等加速度」でもない運動をします。

　さらに、角度θも時間の関数となりますので、解析的に解くのは私には無理そうです。

　質問者さんのように、エネルギー保存則で解くのがよいように思いますが、質点は角度θが90°になる前に球面を離れるはずですので、「質点が球の表面にへばりついているときの角度θの範囲」をきちんと明示し、それ以降は鉛直方向の重力加速度のみによる等加速度運動に基づく速度となる（角度θには依存しない）ことを、式で示す必要があるのではないでしょうか。
　そこまで述べないと、不完全な答だと思います。

　ちょっと無責任ですが、私には無理なので、力学に詳しい方の回答をぜひお願いします。

回答No.1

Tann3

v0は初速度ですか？

　そうだとすると、v0は水平方向（球の接線方向ですから）、いったん球の表面から離れて空中を飛ぶことになります。水平方向には「等速度運動」です。

　重力加速度で、鉛直下向きの速度が大きくなって、初めて球の表面に接触します。初速度v0が大きい場合には、二度と球の表面に接することはないかもしれません。
（水平方向初速度v0の自由落下による「放物線」と、球の表面初速度方向に断面の「円」が交わるか交わらないか、で決まります）

　初速度がゼロなら、質点は球の表面に沿って滑り落ちると思います。本当に、v0は初速度ですか？