剛体の角速度

質問

角速度を求める問題で困っています。角度θをなす粗い斜面上に質量M、半径ｒの円柱があり、地面からの高さｈの点から滑らず転がって落ちる場合、地面に達した時の角速度を求めたいのですが、まず円柱の慣性モーメントをM*r^2/2と求め、さらにエネルギーの保存則を使い角速度ω＝2√gh/r√3(ｒ分の２ルートｒ分のｇｈ)という結果を求めることができました。しかしエネルギー保存則以外に運動方程式を用いて求める方法もあるらしくそれをしたのですがωの値が保存則で求めた値と一致しません。僕自身運動方程式を用いるということがいまいちよく理解できません。これは垂直、斜面、回転に対してのつりあい式、運動方程式等を立て、代入法で解いていけば求まるのでしょうか？それとも積分等をして求めるのでしょうか？どうが詳しく教えていただければ幸いです。

回答No.3

abyssinian · ベストアンサー

あ痛！御免、並進の成分が抜けてました。
位置エネルギーからの方は、君が書いた通りです。

　運動方程式の方は、重力が、並進運動と回転運動を、共に駆動します。
並進成分の運動方程式は、F1=m・dV/dt
回転成分の運動方程式は、T=Ｉ・dω/dt
これをT=rF2によって、F2=(I/r)・dω/dt=(mr/2)・dω/dt
さらにV=rωによって、F2=(m/2)・dV/dt

　F1+F2=(3m/2)dV/dt
これが、重力の斜面成分F=mgsinθと釣り合う。
　mgsinθ=(3m/2)dV/dt
　V=∫dV=∫{(2/3)gsinθ}dt=(2/3)gsinθ・t
走行距離=∫Vdt=(1/3)gsinθ・t^2
これが斜面の長さL=h/sinθと等しくなるtを求めて、Vの式に代入し、ω=V/rに代入すれば、同じ解になると思います。

補足

どうも詳しく書いていただいてありがとうございました。助かりました！

回答No.2

abyssinian

書き忘れました。VとLから走行時間を求めるのも積分です。L=∫Vdt、Vの初期値は0。

回答No.1

abyssinian

まず、エネルギ保存の法則からの解は、位置エネルギー=mgh、回転運動エネルギー=(1/2)Ｉω^2 よりω=(2/r)√(gh) だから√3は出て来ないでしょう。

　運動方程式の方だけど、円柱の重心に重力mgがあって、その斜面に平行な成分は mgsinθ。
円柱と斜面の接触点は滑らないから、重心が動こうとすると、この力は回転トルクになる。だから運動方程式は回転の式になります。回転運動の運動方程式の形は、並進運動の運動方程式 F=m・dV/dt と同じ形式です。
　T=I・dω/dt
トルクT=(mgsinθ)rとIを代入して積分するんだけど、rもθもぜんぶ定数だから超簡単です
　ω=(2gsinθ・t)/r
円の半径に中心角を掛ければ、円周の弧の長さなので、半径にω(角度/秒)を掛ければ、円周の速度です。
　V=rω=2gsinθ・t
走行距離は斜面の長さL=h/sinθだから、Vの式により時間が求まり、ωに代入すれば、同じ解になると思います。

補足

√３ですが保存則を使うとき重心の運動エネルギー(M(rω)^2/2)＋重心から見た(回転)運動エネルギー＝位置エネでそれに求めた慣性モーメントを代入したら√３がでるのではないでしょうか？それと走行時間を求めるというのはどういうことなのでしょうか？√３が含まれても同じような式で求まるのですか？お願いします。