関数の連続性の問題について

質問

ｆ（ｘ）＝（1/sinx)-(1/x) (x=0以外）、
　　　＝０　　　　　　　　（ｘ＝０）

以上のものはｘ＝０で連続であるか不連続であるか？
詳しく教えてくださるとありがたいです。

回答No.5

alice_44

No.1 です。
＞ ですがこの場合分母のＸの最大累乗が分子よりも一つ大きくなりますけど

最大累乗って、何です？
冪級数に最大次数の項はありませんよ。
いくらでも大きい次数の項があるんですから。

sin x = x -(1/3!)x^3 +(1/5!)x^5 -…
から、
1/(sin x) - 1/x = (x - sin x)/(x sin x)
= { (1/3!)x^3 -(1/5!)x^5 +… } / { x^2 -(1/3!)x^4 +… }
= x { (1/3!) -(1/5!)x^2 +… } / { 1 -(1/3!)x^2 +… }
と変形すればよいのです。
x → 0 のとき
{ (1/3!) -(1/5!)x^2 +… } / { 1 -(1/3!)x^2 +… } → 1/3!
であることは、解かるかと思います。
よって、
x { (1/3!) -(1/5!)x^2 +… } / { 1 -(1/3!)x^2 +… } → 0・1/3! = 0
です。

お礼

分かり易く書いていただきありがとうございます。

回答No.4

quesaisje

> 1/sinxはx=0の時に1/xになるのですか？？
> 1/0になってしまいませんか？

x=0の時についての話ではありません。x→0の時1/sinxが限りなく1/xに近づいて行く、と言っているのです。
xが（+側からでも-側からでも）限りなくゼロに近づくと1/sinx→1/xとなりますから(1/sinx-1/x)→(1/x-1/x)=0、つまり極限はゼロになって行きますね。しかしxがちょうど0の時のf(x)の値は式からは決まらないですね。けれども問題文では別にf(0)=0と定義してあります。だからlim(x→0）f(x)とf(0)はともにゼロになります。つまりlim(x→0)f(x)=f(0)です。一方関数F(x)がx=aにおいて連続である、ということの定義はlim(x→a)F(x)=F(a)です。よってf(x)はx=0において連続なのです。

回答No.3

quesaisje

> ５～６行目の変形おかしくないですか？

f(x)=1/sinx-1/x=1/(x-(1/3!)x^3+(1/5!)x^5-...)-1/x
=1/{(1/x)(1-(1/3!)x^2+(1/5!)x^4-...)}-1/x
のところは確かに間違えていました。失礼しました。この項だけ取り出せば
1/sinx→1/(x-(1/3!)x^3+(1/5!)x^5-...)→1/{x(1-(1/3!)x^2+(1/5!)x^4-...)}
と書くべきでした。よって
sinx→x-(1/3!)x^3+(1/5!)x^5-...→x(1-(1/3!)x^2+(1/5!)x^4-...)
となるから、1/sinxはx→0の時に1/xになると言いたかったのです。結果に気をとられて間違えて書いてしまいました。

お礼

丁寧にありがとうございます！
もう一つだけ質問なのですが、1/sinxはx=0の時に1/xになるのですか？？
1/0になってしまいませんか？

回答No.2

quesaisje

f(x)がx=aで連続というのは
lim(x→a)f(x)=f(a)
ということです。今の例では
sinx=x-(1/3!)x^3+(1/5!)x^5-...ですから
f(x)=1/sinx-1/x=1/(x-(1/3!)x^3+(1/5!)x^5-...)-1/x
=1/{(1/x)(1-(1/3!)x^2+(1/5!)x^4-...)}-1/x
→1/x-1/x（x→0）
となりますので極限はゼロです。
f(0)ですが、元の式はxにゼロをいれるわけにいかないですが、f(0)=0と定義してあるので、こちらもゼロです。よって連続の定義を満たすことになります

補足

これだと５～６行目の変形おかしくないですか？

回答No.1

alice_44

通分してから sin をマクローリン展開すれば、
f(x) は (x の三次以上の和)/(x の二次以上の和) となって、
lim[x→0] f(x) = 0 と解る。

補足

言ってることは何となくわかるのですが、（ｘは三次以上の和）/（ｘは二次以上の和）はわかります。　ですがこの場合分母のＸの最大累乗が分子よりも一つ大きくなりますけど、その場合は考えなくてよいのですか？？